Ekvation - vad är det? Definition av termen, exempel

Under skolmatematiken hör barnet först termen "ekvation". Vad är det här, låt oss försöka lista ut det tillsammans. I den här artikeln kommer vi att överväga typerna och lösningsmetoderna.

Matematik. ekvation

Till att börja med erbjuder vi att förstå själva konceptet, vad är det? Så många läroböcker i matematiken säger att ekvationen är några uttryck mellan vilka det nödvändigtvis är ett likartat tecken. I dessa uttryck finns det bokstäver, de så kallade variablerna, vars betydelse måste hittas.

Vad är en variabel? Det är ett attribut för ett system som ändrar dess mening. Ett tydligt exempel på variabler är:

• Lufttemperatur;
• Barnets tillväxt;
• Vikt och så vidare.

I matematik är de betecknade med bokstäver, till exempel x, a, b, c ... Vanligtvis uppger uppgiften i matematik så här: hitta värdet av ekvationen. Det betyder att du måste hitta värdet av dessa variabler.

arter

Ekvationen (vad är det, vi demonterade i föregående stycke) kan ha följande formulär:

• linjär;
• kvadratiska,
• kubisk;
• algebraisk;
• transcendentala.

För mer detaljerad bekantskap med alla slag, kommer vi att överväga var och en separat.

Den linjära ekvationen

Detta är den första sorten som skolbarn lär känna. De löses ganska snabbt och enkelt. Så, den linjära ekvationen, vad är det? Detta är ett uttryck för formuläret: ax = c. Så det är inte särskilt klart, därför kommer vi att ge några exempel: 2х = 26; 5x = 40; 1,2x = 6.

Låt oss undersöka exempel på ekvationer. För detta behöver vi samla alla kända data från ena sidan och okända i den andra: x = 26/2; X = 40/5; X = 6 / 1,2. Här använde vi de grundläggande reglerna för matematik: a * c = e, från denna c = e / a; A = e / c. För att slutföra lösningen av ekvationen utför vi en åtgärd (i vårt fall, division) x = 13; X = 8; X = 5. Dessa var exempel på multiplikation, titta nu på subtraktion och addition: x + 3 = 9; 10x-5 = 15. Vi överför kända data till ena sidan: x = 9-3; X = 20/10. Vi utför den senaste åtgärden: x = 6; X = 2.

Även varianter av linjära ekvationer är möjliga, där mer än en variabel används: 2x-2y = 4. För att lösa är det nödvändigt att lägga 2y till varje del, vi får 2x-2y + 2y = 4-2y, som vi har sett, på vänster sida av tecknet -2y och +2y avbryta medan vi har: 2x = 4 -2u. Det sista steget delar varje del i två, vi får svaret: X är lika med två minus spelet.

Problem med ekvationer uppstår även på Ahmess papyri. Här är en av uppgifterna: Antalet och den fjärde delen ger totalt 15. För att lösa det skriver vi följande ekvation: x plus en fjärdedel x är femton. Vi ser ett exempel på en linjär ekvation, som ett resultat av lösningen får vi svaret: x = 12. Men det här problemet kan lösas på ett annat sätt, nämligen egyptierna eller, som det kallas på ett annat sätt, antagningsmetoden. I papyrus används följande lösning: ta fyra och en fjärde del av det, det vill säga en. Totalt ger de fem, nu femton måste delas in i summan, vi får tre, den sista åtgärden tre multipliceras med fyra. Vi får svaret: 12. Varför delar vi med femton i fem i ett beslut? Så vi vet hur många gånger femton, det vill säga det resultat som vi behöver få mindre än fem. Detta var sättet att lösa problem i medeltiden, han kallades metoden för lögn.

Kvadratiska ekvationer

Förutom de exempel som ansågs tidigare finns det andra. Vilka En kvadratisk ekvation, vad är det? De har formen ax ² + bx + c = 0. För att lösa dem måste du bekanta dig med vissa begrepp och regler.

Först måste vi hitta diskriminanten med formeln: b ² -4ac. Det finns tre alternativ för lösningen:

• Diskriminanten är större än noll;
• Mindre än noll;
• Är lika med noll.

I den första varianten kan vi få ett svar från två rötter, som hittas av formeln: -b + -cres från diskriminanten dividerad med dubbelt den första koefficienten, det vill säga 2a.

I det andra fallet har ekvationen inte rötter. I det tredje fallet finns roten med formeln: -b / 2a.

Tänk på ett exempel på en kvadratisk ekvation för en mer detaljerad bekantskap: tre x-kvadrater minus fjorton x minus fem är lika med noll. Till att börja med, som vi skrev tidigare, letar vi efter en diskriminator, i vårt fall är den lika med 256. Observera att det erhållna antalet är större än noll, så vi måste få ett svar bestående av två rötter. Vi ersätter den mottagna diskriminanten i formeln för att hitta rötterna. Som ett resultat har vi: X är lika med fem och minus en tredjedel.

Särskilda fall i kvadratiska ekvationer

Det här är exempel där några värden är noll (a, b eller c) och eventuellt flera.

Till exempel, låt oss ta följande ekvation, vilket är kvadrat: två x i torget är lika med noll, här ser vi att b och c är noll. Låt oss försöka lösa det, för det här delar vi båda delarna av ekvationen i två, vi har: x ² = 0. Som ett resultat får vi x = 0.

Ett annat fall är 16x ² -9 = 0. Här bara b = 0. Vi löser ekvationen, vi överför den fria koefficienten till höger: 16x2 = 9, nu delar vi varje del i sexton: x ² = nio sextonde. Eftersom vi har x i torget kan roten på 9/16 vara antingen negativ eller positiv. Svaret är skrivet enligt följande: X är lika med plus / minus tre fjärdedelar.

En variant av svaret är också möjligt, eftersom rotekvationen inte gör det. Låt oss titta på ett exempel: 5x2 + 80 = 0, här b = 0. För att lösa den fria termen, släng den till höger, efter dessa åtgärder får vi: 5x2 = -80, nu är varje del uppdelad i fem: x2 = minus sexton. Om ett tal är kvadrerat får vi inte ett negativt värde. Därför är vårt svar: roten ekvationen gör det inte.

Nedbrytning av en trinomial

Uppgiften med kvadratiska ekvationer kan också låta på ett annat sätt: sönderdela kvadratisk trinomial i multiplikatorer. Detta kan göras med följande formel: a (x-x ₁ ) (x-x ₂ ). För detta, som i en annan variant av uppgiften, är det nödvändigt att hitta diskriminanten.

Tänk på följande exempel: 3x ² -14x-5, sönderdela trinomen till multiplikatorer. Vi finner diskriminanten med hjälp av den formel som vi redan är kända, den erhålls lika med 256. Vi noterar genast att 256 är större än noll, därför kommer ekvationen att ha två rötter. Vi finner dem, som i föregående stycke, har vi: x = fem och minus en tredjedel. Vi använder formeln för att expandera en trinomial till multiplikatorer: 3 (x-5) (x + 1/3). I den andra fästet fick vi lika tecken, eftersom formeln innehåller ett minustecken, och roten är också negativ, med hjälp av den grundläggande kunskapen om matematik, i summan vi har ett plustecken. För enkelhet multiplicerar vi ekvationens första och tredje term för att bli av med fraktionen: (x-5) (x + 1).

Ekvationer som minskar till en kvadratisk

I denna paragraf lär vi oss att lösa mer komplicerade ekvationer. Låt oss börja med ett exempel:

(X ² - 2x) ² - 2 (x ² - 2x) - 3 = 0. Vi kan märka de upprepande elementen: (x ² - 2x), för lösningen är det lämpligt att ersätta det med en annan variabel och sedan lösa den vanliga kvadratiska ekvationen omedelbart Observera att i denna uppgift får vi fyra rötter, det borde inte skrämma dig. Vi betecknar upprepningen av variabeln a. Vi får: a ² -2a-3 = 0. Vårt nästa steg är att hitta diskriminanten av den nya ekvationen. Vi får 16, vi hittar två rötter: minus ett och tre. Vi minns att vi gjort en substitution, vi ersätter dessa värden, i slutet har vi ekvationerna: x ² - 2x = -1; X ² - 2x = 3. Vi löser dem i det första svaret: x är lika med en, i det andra: x är lika med minus ett och tre. Vi skriver ner svaret enligt följande: plus / minus ett och tre. Svaret är som regel skrivet i stigande ordning.

Kubiska ekvationer

Låt oss överväga en mer möjlig variant. Vi ska diskutera kubiska ekvationer. De har formen: ax ³ + bx ² + cx + d = 0. Exempel på ekvationer vi kommer att överväga nedan, men i början en liten teori. De kan ha tre rötter, så det finns en formel för att hitta diskriminanten för en kubisk ekvation.

Låt oss överväga ett exempel: 3х ³ + 4х ² + 2х = 0. Hur löser du det? För att göra detta lägger vi bara x i parentes: x (3x2 + 4x + 2) = 0. Allt vi behöver göra är att beräkna roten av ekvationen inom parentes. Diskriminanten för den kvadratiska ekvationen inom parentes är mindre än noll, på grundval av detta har uttrycket en rot: x = 0.

Algebra. ekvation

Vi fortsätter till nästa formulär. Nu betraktar vi kortfattat algebraiska ekvationer. En av uppgifterna lyder som följer: genom att gruppera metoden i 3x ⁴ + 2x ³ + 8x ² + 2x + 5 multiplikatorer. Det bekvämaste sättet är följande gruppering: (3x4 + 3x2) + (2x3 + 2x) + (5x2 +5). Observera att 8x2 från det första uttrycket representerades som summan av 3x2 och 5x2. Nu tar vi ut från varje fäste den gemensamma faktorn 3x2 (x2 + 1) + 2x (x2 + 1) +5 (x2 + 1). Vi ser att vi har en gemensam multiplikator: x i en kvadrat plus en, vi tar den ur parentes: (x2 + 1) (3x2 + 2x + 5). Ytterligare sönderdelning är omöjligt, eftersom båda ekvationerna har en negativ diskriminant.

Transcendentala ekvationer

Vi föreslår att vi hanterar följande typ. Dessa är ekvationer som innehåller transcendentala funktioner, nämligen logaritmiska, trigonometriska eller exponentiella. Exempel: 6sin ² x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 och så vidare. Hur de löses kommer du att lära av trigonometriets gång.

funktion

Det sista steget är att överväga konceptet med en funktionsjämförelse. Till skillnad från tidigare versioner är denna typ inte löst, och en graf är byggd på den. För att göra detta bör ekvationen analyseras väl, hitta alla nödvändiga punkter för konstruktionen, beräkna minsta och maximala poäng.