Cramers regel och dess tillämpning

Cramers regel - är en av de exakta metoder för att lösa system av linjära algebraiska ekvationer (Slough). Dess riktighet på grund av användningen av de avgörande faktorerna för systemmatrisen, liksom några av de begränsningar i beviset för satsen.

Ett system av linjära algebraiska ekvationer med koefficienter som tillhör, till exempel, ett flertal av R -, x2, ..., är reella tal av okända x1 xn en samling av uttryck

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = Bi där i = 1, 2, ..., m, (1)

där aij, bi - reella tal. Vart och ett av dessa uttryck kallas en linjär ekvation, aij - koefficienterna för de okända, bi - oberoende koefficienter av ekvationer.

lösning av (1) avses n-dimensionell vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), vid vilken substitution in i systemet för obekanta x1, x2, ..., xn, var och en av linjerna i systemet blir bäst ekvation .

Systemet kallas konsekvent om den har åtminstone en lösning, och inkonsekvent, om det sammanfaller med lösningen uppsättning av den tomma mängden.

Man måste komma ihåg att för att hitta lösningar på linjära ekvationssystem med hjälp av metoden enligt Cramer, matrissystem måste vara kvadratiska, vilket i princip innebär samma antal okända och ekvationer i systemet.

Så, för att använda Cramers metod måste du åtminstone vet vad Matrix är ett system av linjära algebraiska ekvationer, och det utfärdas. Och för det andra, att förstå vad som kallas determinanten av matrisen och sina egna färdigheter beräkning.

Låt oss anta att denna kunskap du besitter. Underbart! Då måste man bara memorera formler som bestämmer Kramer-metoden. För att underlätta memorering använda följande notation:

• Det - den viktigaste faktorn för matrisen av systemet;

• deti - determinanten av matrisen erhålls från huvudmatrissystemet genom att ersätta i: te kolumnen i matrisen till en kolumnvektor vars element är de högra sidorna av linjära algebraiska ekvationer;

• n - antalet okända och ekvationer i systemet.

Sedan Cramers regel beräkning i-te komponenten xi (i = 1, .. n) n-dimensionell vektor x kan skrivas som

xi = deti / Det, (2).

I det här fallet Det strikt skild från noll.

Det unika i lösningen av systemet när det är gemensamt tillhandahålls av olikheten tillståndet hos den huvudsakliga determinanten för systemet till noll. Annars, om summan av (xi), i kvadrat, strikt positiv, därefter SLAE en kvadratisk matris är omöjligt. Detta kan ske i synnerhet när minst en av deti skild från noll.

Exempel 1. VAH lösa tredimensionellt system med användning av Cramers formel.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Beslut. Vi skriver ner matrisen systemets rad för rad, där Ai - är den i: te raden i matrisen.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Kolonnfria koefficienter b = (31 oktober 29).

Huvudsystemet är avgörande Det
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

För att beräkna permutation DET1 använda A11 = b1, A21 = b2, A31 = b3. sedan
DET1 = B1 A22 A33 + A12 A23 b3 + A31 B2 A32 - A13 A22 B3 - B1 A32 A23 - A33 B2 A12 = ... = -81.

På liknande sätt, för att beräkna användning DET2 substitution a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3, och följaktligen för att beräkna det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Sedan kan du kontrollera att DET2 = -108 och det3 = - 135.
Enligt formlerna Cramer hitta x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Svar: x ° = (3,4,5).

Att förlita sig på tillämpligheten av denna regel, kan metoden enligt Kramer lösa linjära ekvationssystem användas indirekt, exempelvis, för att undersöka systemet på det möjliga antalet lösningar beroende på värdet av en parameter k.

Exempel 2. För att bestämma vid vilken värden på parametern k ojämlikhet | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 exakt en lösning har.

Beslut.
Denna ojämlikhet, av definitionen av modulen funktionen kan utföras endast om båda uttrycken är noll samtidigt. Därför är detta problem reduceras till att finna lösningen av linjära algebraiska ekvationer

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Lösningen på det här systemet endast om det är den viktigaste faktorn för den
Det = k ^ {2} + 1 är skilt från noll. Det står klart att detta villkor är uppfyllt för alla verkliga värdet av parametern k.

Svar: För alla verkliga värdet av parametern k.

Målen för denna typ kan också minskas många praktiska problem inom matematik, fysik eller kemi.