Aritmetisk följd

Uppgifter en aritmetisk progression funnits i gamla tider. De dök upp och krävde lösningar, eftersom de hade en praktisk nödvändighet.

Till exempel, i en av de papyri av forntida Egypten, med ett matematiskt innehåll - papyrus Rhind (XIX-talet f.Kr.) - innehåller ett sådant problem: dela de tio åtgärderna spannmål för tio personer, under förutsättning om skillnaden mellan var och en av dem är en åttondel av de åtgärder ".

Och i matematiska skrifter de gamla grekerna, det finns eleganta satser i samband med en aritmetisk progression. Så Hypsicles Alexandria (II-talet f.Kr.), som uppgår till en hel del intressanta uppgifter och lagt fjorton böcker till "början" av Euklides formulerade idén: "I arithmetic progression med ett jämnt antal medlemmar, mängden medlemmar av den andra hälften mer än summan av medlemmarna i 1- den andra till multipel av kvadraten på 1/2 av medlemmarna. "

Vi tar ett godtyckligt antal naturliga tal (större än noll), 1, 4, 7, ... n-1, n, ..., som kallas den numeriska sekvensen.

Betecknar den sekvens en. sekvensnummer kallas dess medlemmar och är vanligtvis betecknade bokstäver med index, som anger serienumret för elementet (a1, a2, a3 ... läs: «en första», «en andra», «en 3-tvättning" och så vidare ).

Sekvensen kan vara oändligt eller ändligt.

Och vad är aritmetisk följd? Det är underförstått som en nummersekvens som erhållits genom tillsats av den tidigare delen (n) med samma antal av d, vilket är skillnaden progression.

Om D <0, då har vi en minskande progression. Om d> 0, då denna progression anses öka.

Aritmetisk följd kallas ändligt, om vi anser bara ett fåtal av de första medlemmarna. När ett stort antal medlemmar har en oändlig progression.

Någon aritmetisk följd ges av följande formel:

en = kn + b, medan B och K - några siffror.

Absolut sant uttalande, vilket är den omvända: om sekvensen ges av en liknande formel, är det exakt den aritmetiska progression, som har egenskaperna:

1. Varje medlem av progression - det aritmetiska medelvärdet av föregående sikt och då.
2. : Om, utgående från den andra, varje medlem - det aritmetiska medelvärdet av den föregående termen, och den efterföljande, dvs om villkoret, denna sekvens - en aritmetisk progression. Denna jämlikhet är både ett tecken på framsteg, därför vanligtvis kallas en utmärkande för progression.
   På samma sätt är satsen sant som återspeglar den här egenskapen: sekvensen - en aritmetisk progression endast om denna ekvation är sant för någon av medlemmarna i sekvensen, som börjar med den andra.

En karakteristisk egenskap hos några siffror för de fyra aritmetiska progression kan uttryckas med en + am = ak + al, om n + m = k + l (m, n, k - antalet progression).

I en aritmetisk följd av varje önskad (N: te) medlem kan hittas genom användning av följande formel:

en = a1 + d (n-1).

Till exempel: den första delen (a1) i en aritmetisk följd ges och lika med tre, och skillnaden (d) är lika med fyra. Hitta nödvändigt att fyrtiofemte medlem av denna utveckling. A45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Formeln en = ak + d (n - k) för att bestämma den n: te termen i en aritmetisk följd genom var och en av dess k: te medlem tillgänglig om det är känt.

Sum termer av en aritmetisk progression (under antagande av första n medlemmar ändlig progression) beräknas enligt följande:

Sn = (a1 + en) n / 2.

Om du vet skillnaden i arithmetic progression, och det första elementet för att beräkna annan användbar formel:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Summan aritmetisk följd, som innefattar n medlemmar, beräknas enligt följande:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

Urval formler för beräkningar beror på villkoren och problemen med initiala data.

Naturliga tal vilket som helst antal, såsom 1,2,3, ..., n, ...- enklaste exemplet på en aritmetisk progression.

Dessutom finns det en aritmetisk följd och den geometriska som har de egenskaper och kännetecken.