Hur man beräknar arean av en pyramid: basen, sida och full?

Som en förberedelse för examen i matematik eleverna måste systematisera kunskap om algebra och geometri. Jag skulle vilja kombinera all känd information, till exempel hur man beräknar arean av en pyramid. Dessutom, med början från botten och sidoytor tills hela ytarean. Om sidan är vänd mot situationen är klar, eftersom de är trianglar, är basen alltid olika.

Hur kan man vara när området av basen av pyramiden?

Det kan vara ganska någon siffra från en godtycklig triangeln till n-gon. Och denna bas, förutom skillnaden i antalet vinklar kan vara korrekt eller felaktigt siffra. Med tanke på elevernas uppgifter på tentan finns bara jobb med de korrekta siffrorna i basen. Därför kommer vi bara tala om dem.

liksidig triangel

Det är liksidig. En som alla parter är lika och betecknas med bokstaven "a". I detta fall, är basområdet av pyramiden beräknas med formeln:

S = (a ² * √3) / 4.

kvadrat

Formeln för att beräkna sitt område är det enklaste, är "a" - sidan är återigen:

Och S = ^2.

Godtycklig regelbunden n-hörning

Vid sidorna av polygon samma beteckning. För antal vinklar används latinska bokstaven n.

S = (n * a ²⁾ / (4 * tg (180º / n)) .

Hur man skriver in i beräkningen av den del av sido- och hela ytan?

Eftersom bastalet är korrekt, då alla ansikten av pyramiden är lika. Vilka var och en är en likbent triangel, eftersom sidokanterna är lika. Sedan, för att beräkna arean av en sida av pyramiden behöver formel bestående av summan av monom identiska. Antalet termer bestäms av mängden av bottensidorna.

Området av en likbent triangel beräknas genom formeln i vilken halv av basprodukten multipliceras med höjden. Denna höjd i pyramiden kallas apothem. Dess beteckning - "A". Den allmänna formeln för området av sidoytan är som följer:

S = ½ P * A, där P - omkretsen av basen av pyramiden.

Det finns tillfällen när det inte är kända för bassidan, men sidokanterna är (a) platt och vinkeln vid spetsen (α). Sen bygger använda följande formel för att beräkna den laterala delen av pyramiden:

S = n / 2 till ² * sin α.

Uppgift № 1

Tillstånd. Hitta den totala arean av pyramiden, om dess bas är en liksidig triangel med en sida på 4 cm och har värdet √3 apothem cm.

Beslut. Det bör börja med beräkningen av basen omkrets. Eftersom detta är en regelbunden triangel, så gäller P = 3 * 4 = 12 cm apothem Såsom är känt, kan man omedelbart beräkna arean av hela sidoytan :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

För att erhålla den bas triangeln är värdet av området (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Att bestämma hela området behöver för att vika de två resulterande värden: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Svar. 10√3 ^cm2.

Problem № 2

Tillstånd. Det finns en regelbunden fyrkantig pyramid. Längden på basen är lika med 7 mm, den laterala kanten - 16 mm. Du behöver veta sin yta.

Beslut. Eftersom polyhedron - rektangulära och korrekt, vid dess bas är en kvadrat. Hörsel basområde och laterala sidor att kunna räkna den fyrkantiga pyramid. Formeln för kvadraten ges ovan. Och jag känner till alla sidoytor i triangeln. Därför kan du använda Heron formel för att beräkna sina områden.

De första beräkningarna är enkla och leder till detta nummer: 49 mm ^2. Att beräkna det andra värdet behöver semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Nu kan vi beräkna arean av en likbent triangel: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 mm ^2. Det finns fyra trianglar, så vid beräkning av slutnumren måste multipliceras med 4.

Erhölls: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Svar. 267,576 önskat värde på ² mm.

Uppgift № 3

Tillstånd. Vid vanlig fyrkantig pyramid är nödvändigt att beräkna området. Det är känt sidan av en kvadrat - 6 cm och höjd - 4 cm.

Beslut. Det enklaste sättet att använda formeln för att produkten av omkrets och apothem. Det första värdet hittas enkelt. Den andra lite hårdare.

Vi måste komma ihåg Pythagoras sats och överväga en rätvinklig triangel. Den bildas genom höjden av pyramiden och apothem, vilket är hypotenusan. Det andra benet är halv den sida av kvadraten, som en polyeder höjd faller i mitten av den.

Gynnad apothem (hypotenusan i en rätvinklig triangel) är lika med √ (mars ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Nu är det möjligt att beräkna det önskade värdet: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ^2).

Svar. 96 cm ^2.

Problem № 4

Tillstånd. Dana regelbunden hexagonal pyramid. Sidorna av dess bas lika med 22 mm, sidokanterna - 61 mm. Vad är det område av den laterala ytan av denna polyhedron?

Beslut. Resonemanget i det är desamma som beskrivs i uppgiften №2. Endast pyramiden fick det till torget vid basen, och nu är det en hexagon.

Det första steget beräknas genom basområdet med ovanstående formel ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Nu måste du hitta halva omkretsen av en liksidig triangel, som är en sidoyta. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 kvar på Herons formel för att beräkna arean av varje av triangeln, och sedan multiplicera det med sex gånger och den som visade sig till basen.

Beräkningar på Herons formel: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 cm ^2. De beräkningar som kommer att tillhandahålla områdes mantelyta: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Det återstår att lägga upp dem för att ta reda på hela ytan: 5217,47≈5217 ^cm2.

Svar. Grunder - 726√3 cm ^2, sidoytan - 3960 cm ^2, hela området - 5217 cm ^2.