Hur man hittar höjden av en liksidig triangel? Formeln läge, height i en liksidig triangel

Geometri - det är inte bara ett skolämne som du behöver för att få en perfekt poäng. Det är också en kunskap som ofta krävs i livet. Till exempel, när man bygger ett hus med högt tak är nödvändigt att beräkna tjockleken på stockar och deras antal. Det är lätt om man vet hur man hittar höjden av en liksidig triangel. Arkitektoniska strukturer är baserade på kunskap om egenskaperna hos geometriska figurer. Formerna för byggnader är ofta visuellt likna dem. De egyptiska pyramider, paketen mjölk, konstnärliga broderi, norra målning och även kakor - alla trianglar kring mannen. Som Platon sagt, hela världen baserat på trianglar.

likbent triangel

För att göra det tydligare, vilket kommer att diskuteras nedan, är det värt lite att komma ihåg grunderna i geometri.

Triangeln är isosceles om den har två lika sidor. De kallar alltid sida. Part vars dimensioner skiljer sig, som kallas baser.

grundläggande begrepp

Precis som alla vetenskap har geometri sina egna grundläggande regler och koncept. Många av dem. Överväga endast de utan vilken vårt tema blir något oklart.

Höjd - detta är en rak linje dragen vinkelrät mot den motsatta sidan.

Median - ett segment riktas från varje vertex hos triangeln endast till mitten av den motsatta sidan.

Bisektrisen - en stråle som delar på halva vinkel.

Bisector av en triangel - är det en direkt, eller snarare, segmentet bisektris, som förbinder den övre delen av den motsatta sidan.

Det är viktigt att komma ihåg att bisektrisen av vinkeln - är det obligatoriskt ray och triangel bisektrisen - en del av balken.

Basse vinklar av

Satsen påstår att hörnen är belägna vid basen av varje likbent triangel är alltid lika. För att bevisa detta teorem är mycket enkel. Överväga visas en likbent triangel ABC, i vilka AB = BC. Från ABC bisector vinkel som krävs för att HP. Nu två resulterande triangeln bör övervägas. På villkor AB = BC, HP sidan av trianglarna i allmänhet, och vinklarna AED och SVD är lika, eftersom VD - bisektris. Minnas det första tecknet på jämlikhet, kan vi säkert dra slutsatsen att trianglarna anses vara lika. Följaktligen alla relevanta vinklar är lika. Och, naturligtvis, parterna, men vid det laget kommer att återkomma senare.

Höjden av likbent triangel

Fundamentalsats, som är baserad lösning för praktiskt taget alla uppgifter är: höjd i en liksidig triangel är bisektrisen och median. För att förstå dess praktisk mening (eller essens) bör stödja ersättning. För att göra detta, skär pappers likbent triangel. Det enklaste sättet att göra detta från en vanlig plåt anteckningsbok i rutan.

Vik den resulterande triangeln på mitten, rikta sidorna. Vad hände? Två lika stora trianglar. Nu kontrollera gissningar. Expandera den resulterande origami. Dra en viklinje. Med gradskiva kontrollera vinkeln mellan den snittade linje och en triangel bas. Vad gör vinkel på 90 grader? Det faktum att en linje dragen - vinkelrät. Per definition - höjd. Hur man hittar höjden av en liksidig triangel, har vi förstått. Nu för hörnen på toppen. Med samma kontrollgradskiva vinklar är nu bildat redan är hög. De är lika. Detta innebär att höjden är både bisektris. Beväpnade med en linjal, mäta segmenten i vilken höjden av basen. De är lika. Följaktligen höjden i en liksidig triangel bisects basen och är en median.

beviset

Visuella hjälpmedel visar tydligt giltigheten av satsen. Men geometri - vetenskapen tillräckligt noggranna, så självklart.

Under beaktande av lika vinklar på basen hade visat lika trianglar. Recall, WA - bisektris och trianglarna AED och SVD är lika. Slutsatsen var att de motsvarande sidor av triangeln och, naturligtvis, vinklarna är lika. Så AD = SD. Följaktligen WA - median. Det återstår att bevisa att HP är hög. Baserat på lika trianglar övervägande, visar det sig att en vinkel lika med vinkeln ADV ADD. Men dessa två vinklar ligger intill och har varit kända för att lägga till upp till 180 grader. Därför vad de är? Naturligtvis 90 grader. Sålunda, HP - är höjden i en liksidig triangel dras till basen. QED.

viktiga funktioner

• För att möta utmaningarna bör den komma ihåg huvuddragen i likbenta trianglar. De verkar vara den omvända sats.
• Om det i samband med att lösa problemet upptäckts av likheten mellan två vinklar, betyder det att du har att göra med en liksidig triangel.
• Om du inte kan bevisa att medianen är också höjden av triangeln, säkert bifoga - triangeln är likbent.
• Om bisektrisen är höjden, då, baserat på huvuddragen i triangeln avses en likbent triangel.
• Och naturligtvis, om medianen och fungerar som en höjd, sådan triangel - likbent.

höjden av Formel 1

Men för de flesta uppgifter, måste du hitta det aritmetiska höjdvärdet. Det är därför vi överväga hur man hittar höjden av en liksidig triangel.

Återvänder till figuren ovan, ABC, i vilken en - sidor i - bas. HP - höjden av triangeln har den h symbol.

Vad är triangeln AED? Eftersom HP - höjd, sedan triangeln AED - rektangulära ben som du vill hitta. Med hjälp av Pythagoras formel, får vi:

= + AV² AD² VD²

Definiera uttrycket VD och ersätta beteckningar som antagits tidigare, får vi:

N ^ = a ^ - (a / 2) ².

Du måste ta bort root:

H = √a² - V² / 4.

Om du gör en fjärdedel av tecken roten, då formel skulle vara:

H = ½ √4a² - V².

Så är höjden i en liksidig triangel. Formeln härledd från Pythagoras sats. Även om vi glömmer den symboliska notation, då veta metod för att hitta, kan du alltid ta med den.

höjden av formel 2

Den ovan beskrivna formeln är den grundläggande och mest använda i de flesta av geometriska problem. Men hon var inte den enda. Ibland anordnas i stället för ett basvärde given vinkel. När data som att hitta en höjd av en liksidig triangel? För att lösa dessa problem är det lämpligt att använda en annan formel:

H = a / sin α,

där H - höjd, mot basen,

och - en lateral sida,

α - vinkel vid basen.

Om problemet ges vinkeln vid spetsen, är höjden i en liksidig triangel på följande sätt:

H = a / cos (β / 2),

där H - höjd, sänks till basen ,,

β - vinkeln vid spetsen,

och - sidorna.

Rätt likbent triangel

Mycket intressant Fastigheten har en triangel, vars spets är lika med 90 grader. Tänk dig en rätvinklig triangel ABC. Som i tidigare fall, WA - höjd mot basen.

Basse vinklar är lika. Beräkna sin stora arbetet kommer inte att göra:

α = (180 - 90) / 2.

Sålunda, hörn beläget vid basen, alltid vid 45 grader. Nu anser ADV triangel. Han är också rektangulär. Vi finner vinkeln AED. Genom enkla beräkningar får vi 45 grader. Och därför är denna triangel inte bara rätt utan också en likbent. Den sidor AD och VD är sidorna och är lika.

Men sido AD samtidigt är halva AU. Det visar sig att i höjden på en liksidig triangel är lika med halv basen, som om skriven i form av en formel, erhåller vi följande uttryck:

H = a / 2.

Det bör inte glömma att denna formel är bara ett specialfall, och kan endast användas för de rektangulära likbenta trianglar.

Golden triangeln

Mycket intressant är den gyllene triangeln. I denna figur, är förhållandet mellan den sida av basen som är lika med det värde, som kallas antalet Fidias. Corner ligger på toppen - 36 grader, med basen - 72 grader. Denna triangel beundrade pythagoréerna. Gyllene Triangle principer ligger till grund för ett flertal odödliga mästerverk. Den välkända femuddig stjärna byggs vid korsningen av likbenta trianglar. För många verk av Leonardo da Vinci använde principen om "gyllene triangeln". Sammansättning "Mona Lisa" är baserad bara på siffrorna, som skapar en rätt pentagram.

Målning "kubismen", en av Pablo Pikasso fungerar fascinerande syn utgör grunden för en likbent triangel.