BildningVetenskap

Fouriertransform. Snabb Fouriertransform. Diskret Fouriertransform

Fourier transformation - förvandling, associera en viss funktion av en reell variabel. Denna operation utförs varje gång vi uppfattar olika ljud. Ear producerar automatisk "beräkning", som uppfyller vårt medvetande kan först efter granskning av den del av högre matematik. hörselorganet i en mänsklig transformation konstruktioner, i vilka ljudet (konventionellt vibrationsrörelse av partiklar i ett elastiskt medium, som utbreder i vågform i fast, flytande eller gasformigt medium) är anordnad i ett område av på varandra följande värden av volymnivån för toner av varierande höjd. Efter detta slår hjärnan informationen i alla välbekanta ljudet.

Matematisk Fouriertransform

Omvandling av ljudvågor eller andra vibrationsprocesser (genom ljusemission och havet tidvattnet och till stjärn eller sol cykler) kan utföras och med hjälp av matematiska metoder. Sålunda, med användning av dessa tekniker, funktionerna kan utökas genom att införa vibrations processerna av sinusformade komponenter, dvs vågiga kurvor som går från ett minimum till ett maximum och sedan igen till ett minimum, som den våg av havet. Fourier transformation - transformationsfunktionen som beskriver fasen eller amplituden hos varje sinuskurva motsvarar en viss frekvens. Fasen är en startpunkt på kurvan, och amplituden - av dess höjd.

Fouriertransform (exempel visas i bilden) är ett mycket kraftfullt verktyg, som används inom olika områden av vetenskap. I vissa fall används det som en lösning snarare komplexa ekvationer, vilka beskriver de dynamiska processer som sker under inverkan av ljus, värme eller elektrisk energi. I andra fall, och hjälper dig att definiera vanliga komponenter i komplexa vågformer, på grund av detta kan vara sant att tolka olika experimentella observationer i kemi, medicin och astronomi.

historisk information

Den första personen att tillämpa denna metod var den franske matematikern Zhan Batist Fure. Konvertering därefter uppkallad efter honom, ursprungligen för att beskriva värmeledningsmekanismen. Fourier hela sitt vuxna liv engagerad i att studera egenskaperna hos värmen. Han gjorde ett enormt bidrag till den matematiska teorin om fastställandet av rötter algebraiska ekvationer. Fourier var professor i analys vid École Polytechnique, sekreterare Institute of egyptologi, var den kejserliga tjänsten, som orsakat uppståndelse i samband med byggandet av vägen till Turin (under hans ledning tömdes på mer än 80 tusen kvadratkilometer av malaria träsk). Men allt detta aktivism inte stoppa vetenskapsmannen engagerade i matematisk analys. I 1802 den härleddes en ekvation som beskriver utbredningen av värme i fasta ämnen. I 1807, upptäckte forskare en metod för att lösa denna ekvation, som blev känd som "Fouriertransformen".

värmeledningsförmåga analys

Forskarna använde en matematisk metod för att beskriva den värmeledningsmekanism. Ett lämpligt exempel, varvid inga svårigheter att beräkningen är utbrednings av värmeenergi genom en järnring, en del nedsänktes i en brand. För att utföra experiment Fourier glödhet del av ringen och begrava honom i fin sand. Därefter temperaturmätningarna utförs på den motsatta delen av denna. Initialt, är värmefördelningen oregelbunden: del av ringen - kallt, och den andra - het, mellan zonerna kan observera en skarp temperaturgradient. Emellertid, under värmefördelning över metallytan, det blir mer likformig. Så snart tar denna process i form av en sinusvåg. Första grafen gradvis ökar och minskar också smidigt, noggrant lagar variation av cosinus eller sinusfunktion. Våg gradvis utjämnas och som ett resultat temperaturen blir likformig på hela ytan av ringen.

Författaren till denna metod antas att den initiala distributionen är ganska oregelbunden kan delas upp i ett antal elementära sinusvågor. Var och en av dem kommer att ha sin fas (initialläge) och dess maximala temperatur. Således varje sådan komponentförändringar från ett minimum till ett maximum och tillbaka för att slutföra varv runt ringen heltal gånger. Komponent som har en period som kallades grundtons, och värdet med två eller flera perioder - den andra och så vidare. Till exempel, en matematisk funktion som beskriver den maximala temperaturen, den fas eller position som kallas Fouriertransformen av fördelningsfunktionen. Vetenskapsman förde en enda komponent som är svår att matematisk beskrivning, för enkel-att använda verktyg - rader av sinus och cosinus, i mängden av att ge den initiala distributionen.

Kärnan i analysen

Tillämpa denna analys till omvandling av värmefördelningen på det fasta föremålet, som har en ringformig form, resone matematiker att ökande perioder av sinusformade komponenter leda till dess snabba dämpning. Detta syns tydligt på de viktigaste och andra övertoner. Den slutliga temperaturen når två gånger de maximi- och minimivärden i ett enda pass, och i den första - endast en gång. Det visar sig att den sträcka som värme i den andra övertonen är hälften av kärnan. Dessutom kommer lutningen av den andra halvan också vara brantare än den första. Därför, eftersom en mer intensiv värmeflöde passerar änka minimalt avstånd, då detta kommer att dämpas överton fyra gånger snabbare än huvud, som en funktion av tiden. I det följande processen kommer att vara ännu snabbare. Matematiker trodde att denna metod ger oss möjlighet att beräkna processen av den initiala fördelningen av temperaturen med tiden.

samtals~~POS=TRUNC samtida

Fouriertransform algoritm har blivit en utmaning för de teoretiska grunderna i matematik vid den tidpunkten. I början av artonhundratalet, gjorde de flesta framstående forskare, inklusive Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre och Biot inte acceptera hans påstående att temperaturen av den initiala fördelningen sönderdelas till komponenter i form av grundvågen och högre frekvens. Men Vetenskapsakademien kunde inte bortse från de resultat som erhållits matematiker och tilldelade honom priset för teorin om värmeledning av lagarna, liksom att bedriva sin jämförelse med fysiska experiment. I Fourier tillvägagångssätt, är den huvudsakliga invändningen det faktum att en diskontinuerlig funktion representeras av en summa av flera sinusformade funktioner, som är kontinuerlig. När allt kommer omkring, beskriver de sprack rakt och böjda linjer. Samtida vetenskapsman hade aldrig stött på en sådan situation, när de diskontinuerliga funktioner som beskrivs genom en kombination av kontinuerlig, såsom kvadratisk, linjär, sinus- eller utställare. I händelse av att en matematiker var rätt i sina påståenden bör summan av en oändlig serie av trigonometriska funktioner begränsas till den exakta hastighet. Medan ett sådant påstående verkade absurd. Trots de tvivel några forskare (t.ex. Claude Navier, Sofi Zhermen) breddat forskning och förde dem ut ur analysen av värmefördelning. En matematik, under tiden, fortsatte att lida frågan om en summa av flera sinusformade funktioner reduceras till en exakt representation av bristning.

200-åriga historia

Denna teori har utvecklats under två århundraden, idag är det äntligen bildas. Med hjälp av de spatiala eller temporala funktioner är uppdelade i sinusformade komponenter som har en frekvens, fas och amplitud. Denna omvandling erhålles genom två olika matematiska metoder. Den första av dem används i det fall när källan är en kontinuerlig funktion, och den andra - i det fall där den representeras av ett flertal diskreta individuella förändringar. Om uttrycket erhålles från värden, vilka definieras vid diskreta intervall, kan den delas upp i flera diskreta sinusformade frekvenser uttryck - från den lägsta och sedan fördubblats, tredubblades, och så vidare över den grundläggande. Detta belopp kallas Fourier serien. Om den ursprungliga uttrycket ställer in värdet för varje reellt tal, kan det delas upp i flera sinus alla möjliga frekvenser. Det kallas en Fourier integral, och beslutet innebär en omvandling av integralfunktionen. Oberoende av metoden för att erhålla omvandling, för varje frekvens bör ange två nummer: amplitud och frekvens. Dessa värden uttrycks som ett enda komplext tal. Uttryck komplexa variabler teori tillsammans med Fouriertransformation för att utföra beräkningar tillät utformningen av olika elektriska kretsar, analys av mekaniska vibrationer, studiet av vågutbredning mekanism och en annan.

Fouriertransform idag

Numera studiet av denna process handlar i grunden om att hitta effektiva metoder för övergången från funktionen för att omvandla den tillbaka till sinnet. Denna lösning kallas direkt och invers Fouriertransform. Vad betyder det? För att bestämma integral och göra en direkt Fouriertransform, kan du använda matematiska metoder, men du kan analytisk. Trots det faktum att när de används i praktiken finns det vissa svårigheter, har de flesta integraler redan hittats och trädde i matematiska handböcker. Med hjälp av numeriska metoder kan beräknas uttryck, vars form är baserad på experimentella data, en funktion vars integraler i tabellerna saknas, och de är svåra att föreställa sig i en analytisk form.

Före tillkomsten av datortekniska beräkningar sådana transformationer har varit mycket tråkiga, de kräver manuell genomförande av ett stort antal aritmetiska operationer som beror på antalet punkter som beskriver vågfunktionen. För att underlätta avvecklingen idag finns speciella program, får införa nya analysmetoder. Så i 1965, Dzheyms Kuli och Dzhon Tyuki skapade programvara som blev känd som "Fast Fourier Transform". Det sparar tid för beräkningen genom att minska antalet multiplikationer i analysen av kurvan. "Fast Fourier Transform" Metoden är baserad på dela upp denna kurva i ett stort antal enhetliga sampelvärden. Följaktligen är antalet multiplikationer reduceras genom halv vid samma minska antalet punkter.

Tillämpning av Fouriertransform

Denna process används inom olika områden: I talteori, fysik, signalbehandling, kombinatorik, sannolikhetsteori, kryptografi, statistik, oceanografi, optik, akustik, och andra geometrier. Rika möjligheter för dess användning är baserade på ett antal användbara funktioner, som kallas "egenskaper hos Fourier transformation." Låt oss undersöka dem.

1. omvandlingsfunktion är en linjär operator och en motsvarande normalisering är enhetlig. Denna egenskap kallas Parseval teorem, eller i det allmänna fallet, satsen Plansherelja eller Pontrjagin dualism.

2. Omvandlingen är reversibel. Dessutom är det motsatta resultatet väsentligen liknande form som i den direkta adressering.

3. De sinus grundläggande uttryck är deras egna differentierade funktioner. Detta betyder att en sådan representation ändrar linjära ekvationer med konstanta koefficienter i en konventionell algebraisk.

4. Enligt "faltning" teorem, processen gör en komplex operation i elementär multiplikation.

5. Discrete Fourier Transform kan snabbt utformas på en dator med hjälp av "snabb" metod.

Variationer i Fouriertransform

1. Oftast termen används för att hänvisa till en kontinuerlig omvandling, som erbjuder någon kvadratiskt integrerbar uttryck som summan av komplexa exponentiella uttryck med specifika vinkelfrekvenser och amplituder. Denna art har flera olika former, som kan vara olika konstanta koefficienter. Den kontinuerliga metoden innefattar en omvandlingstabell, som kan hittas i matematiska handböcker. En generaliserad fall är fraktionsomvandling, varvid denna process kan höjas till den önskade aktiva effekten.

2. Den kontinuerliga metoden är en generalisering av tidigare teknik för Fourier-serier som definieras för eventuella periodiska funktioner eller uttryck, som finns i ett begränsat område och företräder dem som en serie av sinusvågor.

3. Diskret Fouriertransform. Denna metod används vid beräkningen för vetenskaplig beräkning och digital signalbehandling. För att genomföra denna typ av beräkning som krävs för att ha en funktion för att bestämma om en diskret uppsättning av enskilda punkter, periodisk eller begränsad region i stället för kontinuerliga Fourierintegraler. Signalomvandling i detta fall representeras som en summa av sinuskurvor. Användningen av "snabb" metod möjliggör användning av digitala lösningar för alla praktiska ändamål.

4. Fönstret Fouriertransformen är en generaliserad vy av den klassiska metoden. Till skillnad från standardlösningar när signalspektrumet används, som är tagna i hela skalan av förekomsten av denna variabel är av särskilt intresse här är endast den lokala frekvensfördelningen samtidigt som den ursprungliga variabeln (tid).

5. Den tvådimensionella Fourier-transform. Denna metod används för att arbeta med tvådimensionella uppsättningar av data. I ett sådant fall, är omvandlingen utförs i en riktning, och sedan - i den andra.

slutsats

Idag är Fourier metoden fast förankrade i de olika vetenskapsområden. Till exempel, i 1962 det öppnade formen på den dubbelspiral-DNA med användning Fourieranalys jämförd med röntgendiffraktion. Senaste kristaller fokuserade på DNA-fibrer, vilket resulterar i en bild, som erhålles genom diffraktion, inspelad på filmen. Denna bild gav information om värdet på amplituden med hjälp av Fouriertransform till denna kristallstruktur. Fasdata som erhålls genom att jämföra DNA-diffraktion kort med kort som erhålls i analysen av liknande kemiska strukturer. Som ett resultat, biologer restaurerade kristallstruktur - den ursprungliga funktionen.

Fouriertransform spela en stor roll i studiet av yttre rymden, fysiken av halvledarmaterial och plasma, mikrovågsugn akustik, oceanografi, radar, seismologi och läkarundersökningar.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 sv.atomiyme.com. Theme powered by WordPress.