Pendeln: perioden och acceleration av formeln

Det mekaniska system som består av ett material punkten (kroppen), som hänger på en viktlös icke töjbar filament (dess massa är försumbar jämfört med vikten av kroppen) i ett likformigt gravitationsfält, som kallas den matematiska pendeln (ett annat namn - oscillatorn). Det finns andra typer av enheter. I stället för en glödtråd viktlös stav kan användas. Pendulum kan tydligt avslöja essensen av många intressanta fenomen. När små amplituder vibrationer av dess rörelse kallas harmonisk.

Allmän information om det mekaniska systemet

Formeln för oscilleringsperioden hos pendeln parades holländska forskare Huygens (1629-1695 gg.). Denna samtida med Isaac Newton var mycket förtjust i det mekaniska systemet. År 1656 skapade han den första vakten med en pendel mekanism. De mätte tiden med extrem precision för dessa tider. Denna uppfinning var ett stort steg i utvecklingen av fysikaliska experiment och praktiska aktiviteter.

Om pendeln är i ett jämviktsläge (hängande vertikalt), varvid tyngdkraften kommer att balanseras av garnspänningen kraften. Platt pendeln på en icke-töjbara garner är ett system med två frihetsgrader för kommunikation. Vid byte bara en komponent för att ändra egenskaperna hos alla dess delar. Till exempel om en tråd är ersatt av en stång, då detta mekaniska systemet är endast en frihetsgrad. Vad är då egenskaperna hos en matematisk pendel? I detta enkla system, under påverkan av en periodisk störning visas kaos. I det fallet, när upphängningspunkten inte är i rörelse, och oscillerar en pendel det finns en ny jämviktsläge. Om snabba svängningar upp och ner denna mekaniska systemet blir stabilt läge "upp och ner". Det har också sitt namn. Det kallas Kapitza pendeln.

Egenskaperna hos pendeln

Pendulum har mycket intressanta egenskaper. Alla av dem stöds av välkända fysikaliska lagar. Svängningsperioden av pendeln något annat beror på olika omständigheter, såsom storleken och formen på kroppen, avståndet mellan punkten för suspensionen och tyngdpunkten, viktfördelningen med avseende på denna punkt. Det är anledningen till att definitionen av kroppen hängande period är ganska utmanande. Är mycket lättare att beräkna tiden för en enkel pendel, formeln återges nedan. Som ett resultat av att observera dessa mönster kan ställas in på liknande mekaniska system:

• Om, under det att samma längd av pendeln, upphängd från en mängd olika belastningar bibehålla, den period av svängningen få samma, även om deras vikt kommer att variera kraftigt. Följaktligen har den period av pendeln inte beroende på vikten av lasten.

• Om systemet börjar minska i pendeln är inte alltför stor, men olika vinklar, kommer det att fluktuera med samma period, men vid olika amplituder. Även avvikelser från centrum av balans inte är alltför stora variationer i deras form kommer att vara nära nog övertonen. Perioden av en sådan pendel beror inte på vibrations amplitud. Denna egenskap hos det mekaniska systemet kallas isochronism (på grekiska "chronos" - time "Izosov" - lika).

Perioden för en enkel pendel

Denna figur representerar den naturliga svängningsperioden. Trots den komplexa formulering, är själva processen mycket enkel. Om längden av garnet matematiska pendeln L, och tyngdaccelerationen g, är lika detta värde:

T = 2π√L / g

Små period av naturliga svängningar på något sätt beror inte på massan av pendeln och svängning amplitud. I detta fall, som en matematisk pendel rör sig med reducerad längd.

Svängningar av en matematisk pendel

Matematiska pendeln svänger, som kan beskrivas med en enkel differentialekvation:

x + ω2 sin x = 0,

där x (t) - okänd funktion (denna vinkel av avböjning från det nedre läget av jämvikts vid tidpunkten t, uttryckt i radianer); ω - en positiv konstant, som bestäms från parametrarna hos pendeln (ω = √g / L, där g - tyngdaccelerationen, och L - längden på en enkel pendel (suspension).

Ekvation små svängningar nära jämviktsläget (harmonisk ekvation) enligt följande:

x + ω2 sin x = 0

Oscillerande rörelse av pendeln

Pendulum, vilket gör små svängningar, flytta sinusoid. Andra ordningens differentialekvation uppfyller alla krav och parametrar för en sådan rörelse. För att bestämma vilken väg du vill ställa in hastigheten och koordinater, som senare bestäms oberoende konstanter:

x = A sin (θ ₀ + cot),

där θ ₀ - initiala fasen, A - svängningsamplitud, ω - cyklisk frekvens bestäms från rörelseekvationerna.

Pendel (formel för stora amplituder)

Denna mekaniska system utföra sina svängningar med stor amplitud, är det föremål för mer komplexa trafiklagar. de beräknas enligt formeln för en sådan pendel:

sin x / 2 = u * sn (cot / u),

där sn - sine Jacobi, som för U <1 är en periodisk funktion, och för små u det sammanfaller med det enkla trigonometriska sinus. Värdet u bestäms av följande uttryck:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

där ε = E / ML2 (ML2 - energi av pendeln).

Bestämning av olinjära svängningsperiod av pendeln av följande formel:

T = 2π / Ω,

där Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptisk integral, π - 3,14.

pendelrörelsen hos separatrixen

Det kallas separatrixen banan för det dynamiska systemet, i vilket en tvådimensionell fasrummet. Pendulum rör sig på en icke-jämna mellanrum. I det oändligt långt tidpunkt det droppar från övre extremläge mot en nollhastighet, och då är det gradvis att få. Han slutade till slut, återvänder till sitt ursprungliga läge.

Om amplituden hos oscillationen av pendeln närmar sig antalet pi, sägs det att rörelsen i fasplanet ligger nära separatrixen. I detta fall, under verkan av en liten periodisk drivkraft av det mekaniska systemet uppvisar kaotiskt beteende.

I händelse av en enkel pendel från jämviktsläget med en vinkel cp inträffar tangentiell kraft Fτ = -mg synd φ gravitation. "Minus" tecken betyder att den tangentiella komponent riktad i motsatt riktning från riktningen för avvikelsen av pendeln. När man hänvisar via pendel förskjutning x längs en cirkelbåge med en radie L är lika med dess vinkelförskjutning φ = x / L. Den andra lagen Isaaka Nyutona, avsedd för projektion av accelerationsvektor och styrka ger önskat värde:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Baserat på detta förhållande, är det tydligt att pendeln är en ickelinjär systemet, eftersom en kraft som tenderar att återgå till sitt jämviktsläge, är inte alltid proportionell mot förskjutningen x, en sin x / L.

Först när den matematiska pendeln utför små vibrationer, är det en harmonisk oscillator. Med andra ord blir det ett mekaniskt system kan utföra harmoniska svängningar. Denna approximation gäller för nästan vinklar 15-20 °. Pendulum med stora amplituder är inte harmonisk.

Newtons lag för små svängningar i en pendel

Om det mekaniska systemet utför små svängningar, kommer 2nd Newtons lag se ut så här:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

På grundval av detta kan vi konstatera att den tangentiella accelerationen av en enkel pendel är proportionell mot dess förskjutning med skylten "minus". Detta är ett tillstånd där systemet blir en harmonisk oscillator. Modul proportionalitetsfaktor mellan förskjutningen och accelerationen är lika med kvadraten av vinkelfrekvensen:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Denna formel återspeglar den naturliga frekvensen för små svängningar av denna typ av pendeln. På grundval av detta

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Beräkningar baserade på lagen om energins bevarande

Egenskaper oscillerande pendelrörelser kan beskrivas med hjälp av lagen om energins bevarande. Man bör komma ihåg att den potentiella energin hos pendeln i ett gravitationsfält är:

E = mgΔh = mgl (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Fullständig mekanisk energi är lika med den kinetiska och maximala potentialen: Epmax = Ekmsx = E

När du har skrivit lagen om bevarande av energi, ta derivatan av vänster och höger sida av ekvationen:

Ep + Ek = const

Eftersom derivatan av konstant är lika med 0, därefter (Ep + Ek) '= 0. Derivatet av summan är lika med summan av derivaten:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

därför:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Baserat på den sista formeln finner vi: α = - g / L * x.

Praktisk tillämpning av den matematiska pendeln

Acceleration av fritt fall varierar med latitud, eftersom densiteten av skorpan runt planeten inte är identiska. Där stenar förekommer med en högre densitet, kommer det att bli något högre. Acceleration av matematiska pendeln används ofta för prospektering. I dess hjälp leta efter olika mineraler. Helt enkelt räkna antalet svängningar i en pendel, är det möjligt att detektera kol eller malm i jordens innandöme. Detta beror på det faktum att dessa resurser har en densitet och vikt av mer än att ligga under de lösa stenar.

Matematiska pendeln som används av sådana framstående forskare som Sokrates, Aristoteles, Plato, Plutarch, Archimedes. Många av dem trodde att det mekaniska systemet kan påverka ödet och livet. Arkimedes använde matematiska pendeln med sina beräkningar. Numera har många ockultister och synska använder detta mekaniska system för genomförandet av sina profetior eller sökandet efter försvunna personer.

Den berömda franska astronomen och vetenskapsman, Flammarion för sin forskning använde också en matematisk pendel. Han hävdade att med hans hjälp kunde han förutse upptäckten av en ny planet, framväxten av Tunguska meteorit och andra viktiga händelser. Under andra världskriget i Tyskland (Berlin) arbetade som en specialiserad institut pendeln. Numera är sådan forskning inte tillgängligt München Institute of Parapsychology. Hans arbete med pendeln personal denna institution som kallas "radiesteziey".