Summan av vinklarna i en triangel. Satsen på summan av vinklarna i en triangel

Triangeln är en polygon med tre sidor (tre vinklar). Oftast den del betecknas med små bokstäver motsvarande versaler, som representerar motsatta hörn. I den här artikeln tar vi en titt på dessa typer av geometriska former, sats, som definierar vad som är lika med summan av vinklarna i en triangel.

Typer största vinklar

Följande typer av polygon med tre hörn:

• akut-vinklad, där alla vinklar är skarp;
• rektangulär med en rät vinkel, den sida som bildar den, hänvisas till benen, och den sida som är anordnad mittemot den räta vinkeln kallas hypotenusa;
• trubbig när en vinkel är trubbig ;
• likbent, vars två sidor är lika och de kallas i sidled, och den tredje - en triangel med en bas;
• liksidig som har tre lika sidor.

egenskaper

Fördela de grundläggande egenskaper som är karakteristiska för varje typ av triangeln:

• motsatt den största sidan är alltid större vinkel, och vice versa;
• är lika vinklar motsatta med lika största partiet, och vice versa;
• i någon triangel har två spetsiga vinklar;
• yttre vinkel större än någon inre vinkeln inte är angränsande därtill;
• summan av vilka två vinklar är alltid mindre än 180 grader;
• yttre vinkel är lika med summan av de andra två hörnen, vilka inte är mezhuyut med honom.

Satsen på summan av vinklarna i en triangel

Satsen säger att om du lägger upp alla hörn geometrisk form, som ligger i den euklidiska planet, då deras summa blir 180 grader. Låt oss försöka bevisa detta teorem.

Låt vi har en godtycklig triangel med hörn KMN. Längst upp i M kommer att hålla en direkt parallell till linjen KN (även denna linje kallas Euclid). Det bör noteras punkten A, så att de punkter K och A är anordnade från olika sidor om linjen MN. Vi får samma vinkel av AMS och MUF, som i likhet med det inre, ligga korsvis för att bilda korsande MN i samband med direkt CN och MA, som är parallella. Härav följer att summan av vinklarna i triangeln, som ligger vid hörnen av M och N är lika med storleken på CMA vinkel. Alla tre vinklar utgörs av ett belopp som motsvarar summan av vinklarna i KMA och MCS. Eftersom uppgifterna är interna vinklar relativa sidiga parallella linjer CL och CM MA på korsande, är deras summa 180 grader. Detta bevisar satsen.

resultat

Av ovanstående ovanstående teorem innebär följande följd: varje triangel har två spetsiga vinklar. För att bevisa detta, låt oss anta att denna geometrisk figur har endast en spetsig vinkel. Du kan också anta att ingen av hörnen inte skarpa. I detta fall måste det vara minst två vinklar, vars storlek är lika med eller större än 90 grader. Men då summan av vinklarna är större än 180 grader. Men detta kan inte vara, som enligt de teorem summa vinklarna i en triangel är lika med 180 ° - varken mer eller mindre. Det är vad som måste bevisas.

Fastighetsytterhörn

Vad är summan av vinklarna i en triangel, som är externt? Svaret på denna fråga kan erhållas genom att applicera ett av två sätt. Den första är att du måste hitta summan av vinklarna, som tas en vid varje hörn, det vill säga tre vinklar. Den andra innebär att du behöver hitta summan av de sex vinklar vid hörn. För att hantera med början av det första utförandet. Sålunda innehåller triangeln sex yttre hörnen - högst upp i var och en av de två. Varje par har lika vinklar sinsemellan, eftersom de är vertikala:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Dessutom är det känt att det yttre hörnet av en triangel är lika med summan av de två inre, vilka inte mezhuyutsya med honom. därför,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Av detta framgår att summan av de yttre vinklar, som tas en och en nära varje hörn kommer att vara lika med:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Tanke på det faktum att summan av vinklarna är lika med 180 grader, kan man hävda att ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Detta innebär att ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Om det andra alternativet används, kommer summan av de sex vinklarna vara motsvarande större två gånger. Dvs summan av vinklarna i en triangel utanför kommer att vara:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

rätvinklig triangel

Vad är lika med summan av vinklarna i en rätvinklig triangel, är ön? Svaret är, återigen, från sats, där det sägs att vinklarna i en triangel lägga till upp till 180 grader. Ett ljud vår påstående (egendom) enligt följande: i en rätvinklig triangel skarpa vinklar lägga till upp till 90 grader. Vi bevisa sin trovärdighet. Låt det finnas given triangel KMN, som ∟N = 90 °. Det är nödvändigt att bevisa att ∟K ∟M = + 90 °.

Sålunda, enligt den sats på summan av vinklarna ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. I detta tillstånd är det sagt att ∟N = 90 °. Det visar sig ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Som är ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Det är vad vi borde bevisa.

Förutom de ovan nämnda egenskaperna hos en rätvinklig triangel, kan du lägga till dessa:

• vinklar, som ligger mot benen är skarpa;
• hypotenusan av den triangulära större än någon av benen;
• summan av benen fler än hypotenusan;
• benet av triangeln, som ligger motsatt den vinkel på 30 grader, halv på hypotenusan, är att lika med dess halv.

Som en annan egenskap hos den geometriska formen kan särskiljas Pythagoras sats. Hon hävdar att i en triangel med en vinkel av 90 grader (rektangulära), varvid summan av kvadraterna av benen är lika med kvadraten på hypotenusan.

Summan av vinklar av en likbent triangel

Tidigare vi sa att en likbent triangel är en polygon med tre hörn, som innehåller två lika sidor. Denna egenskap är känd geometrisk figur: vinklarna vid dess bas lika. Låt oss bevisa detta.

Ta triangeln KMN, som är isosceles, SC - dess bas. Vi måste bevisa att ∟K = ∟N. Så, låt oss anta att MA - KMN är bisektrisen av vår triangel. ICA triangel med det första tecknet på jämlikhet är triangel MNA. Nämligen genom hypotes med tanke på att CM = NM, MA är en gemensam sida, ∟1 = ∟2 eftersom MA - denna bisektris. Med hjälp av lika de två trianglar, skulle man kunna hävda att ∟K = ∟N. Därför är satsen bevisas.

Men vi är intresserade av, vad är summan av vinklarna i en triangel (likbent). För i detta avseende inte har dess funktioner, kommer vi att börja från satsen diskuterats tidigare. Det vill säga, vi kan säga att ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, eller 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (såsom ∟K = ∟N). Detta kommer inte att bevisa egendom, satsen på summan av vinklarna i en triangel bevisades tidigare.

Utom de beaktade egenskaperna hos hörnen av en triangel, det finns också sådana viktiga uttalanden:

• i en liksidig triangel höjd, som hade sänkts till basen, är samtidigt median bisektrisen av vinkeln som är mellan de lika sidor och symmetriaxeln av dess bas;
• median (bisektrisen, höjd), som hålls på sidorna av en geometrisk figur, är lika.

liksidig triangel

Det kallas också rätt, är triangeln, som är lika för alla parter. Och därmed också lika och vinklar. Var och en av dem är 60 grader. Låt oss bevisa den här egenskapen.

Låt oss anta att vi har en triangel KMN. Vi vet att KM = HM = KH. Detta innebär att enligt egenskapen av vinklarna är belägna vid basen i en liksidig triangel ∟K = ∟M = ∟N. Eftersom det enligt summan av vinklarna i en triangel teorem ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, så är x 3 = 180 ° ∟K eller ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Således är påstående bevisas. Såsom framgår av ovanstående bevis baserade på ovanstående sats, summan av vinklarna i en liksidig triangel, är som summan av vinklarna i varje annan triangel 180 grader. Återigen bevisar detta teorem är inte nödvändigt.

Det finns fortfarande vissa egenskaper som är karakteristiska för en liksidig triangel:

• median bisector höjd i en geometrisk figur identiska, och deras längd är beräknad som (a x √3): 2;
• om denna polygon omskriver cirkeln, då radien kommer att vara lika med (a x √3): 3;
• om inskriven i en cirkel liksidig triangel, skulle dess radie vara (a x √3): 6;
• område av den geometriska figuren beräknas genom formeln: (a2 x √3): 4.

trubbig triangel

Per definition , en trubbig-vinklad triangeln är en av dess hörn mellan 90 till 180 grader. Men med tanke på att de två andra vinklar på den geometriska formen skarp, kan man dra slutsatsen att de inte överstiga 90 grader. Därför fungerar summan av vinklarna i en triangel teorem vid beräkning av summan av vinklarna i en trubbig triangel. Så kan vi lugnt säga, baserat på ovanstående teorem att summan av de trubbiga vinklar i en triangel är 180 grader. Återigen, detta teorem inte på nytt behöver bevis.