Vad är en kvadrat? Hur man hittar hörn sektionsplan ekvation, volym och fotavtryck av en rät vinkel?

Svar på frågan om vad som är kvadraten kan ställas in. Det beror på vem du har tagit upp denna fråga. Musikern säger att kvadraten - en 4, 8, 16, 32 bar eller jazz improvisation. Barnet - det är ett spel med en boll eller en barntidning. Skrivaren kommer att skicka dig att studera teckenstorlek och utrustning - metallprofil arter.

Det finns många andra värden i detta ord, men i dag kommer vi att ställa en fråga om matematik. Så ...

Ta itu med denna siffra kommer vi gradvis från enkla till komplexa, och börja med historien om torget. När han dök upp, som uppfattas av människor, forskare från olika länder och kulturer?

Historien om studiet av torget

Antika världen uppfattar torget, främst de fyra väderstrecken. I allmänhet, trots de många fyrhjulingar, precis vid stora torget i nummer - fyra. För assyrierna och den peruanska torget - hela världen, det vill säga står det de fyra huvudriktningar kompassen.

Även universum är som en kvadrat, även delas in i fyra delar - en vision av Nordamerika. För kelterna, universum - det är så mycket som tre kvadrat, kapslade och från mitten av de fyra floder flyter (!). Och alla egyptierna dyrkade denna siffra!

Först beskrevs av matematiska formler fyrkantiga greker. Men för dem, har denna polygon endast negativa egenskaper. Pythagoras inte gillar jämna nummer, se dem som svaga och feminina.

Även religioner föreliggande fyrkantiga. I Islam, Kaba - är inte någon sfärisk, nämligen en kubisk form - naveln av jorden.

I Indien, huvud grafem som representerar jord eller jordsymbolen, ades rebaptized kvadrat. Återigen, vi talar om de fyra väderstrecken, de fyra regionerna på jorden.

I Kina torget - en världs harmoni och ordning. Kaos är besegrade byggnad kvadrat Vary. En kvadrat inskriven i en cirkel, är grunden för att se världen, symboliserar enighet och anslutning av kosmos och jorden.

Pagan Ryssland - Square Svarog. Denna symbol kallas också Svarog Star eller Star i Ryssland. Det är ganska komplicerat, som består av korsande och slutna linjer. Svarog - gud smeder, huvud skapare, skaparen och himlen sig i presentationen av Rus. Denna symbol är en romb, som återigen talar om jorden och dess fyra riktningar. Och stjärnan med fyra strålar - 4 hörn, Lika Svaroga 4 - hans allvetande. En stråle kryss - center.

Intressanta fakta om torget

De mest populära frasen som kommer att tänka på vår huvudperson - "Black Square".

Malevitj bild är fortfarande mycket populär. Författaren efter dess tillkomst har länge lidit frågan om vad det är och varför en enkel svart fyrkant på en vit bakgrund så uppmärksammar sig själv.

Men om du tar en närmare titt noga, kommer du att märka att den fyrkantiga planet inte är jämn, och sprickor i den svarta bläck är en uppsättning av flerfärgade nyanser. Uppenbarligen i början fanns en viss sammansättning, som författaren inte vill, och han stängde den från våra ögon till denna siffra. Svart fyrkant som något - ett svart hål, bara den magiska kvadratisk form. Undvik är känt för att locka ...

En annan mycket populära "magisk kvadrat". I själva verket är det - ett bord, naturligtvis, torget fyllt med siffrorna i varje kolumn. Summan av dessa siffror är densamma för alla rader, kolumner och diagonaler (separat). Om diagonal elimineras från ekvationen, torget - semimagic.

Albrecht Dürer i 1514 skapade målningen "Melancholia I", som skildras en 4x4 magisk kvadrat. Den summan av antalet kolumner, rader diagonaler, och även inre torget är trettiofyra.

På grundval av dessa tabeller var mycket intressant och populär pussel - "Sudoku".

Egyptierna var de första att utföra sammankoppling linjenummer (födelsedatum) och karaktärsdrag, förmågor och talanger hos en person. Pythagoras tog denna kunskap, få bearbetas och placeras på torget. Resultatet blev en kvadrat med Pythagoras.

Den har en separat område i numerologi. Från födelsedatum för en person beräkna genom att lägga till de fyra huvudnummer som placeras i Pythagoras Square (torg). Och lade ut alla dold information om din energi, hälsa, talang, tur, temperament och andra saker på hyllorna. I genomsnitt, är noggrannheten av de undersökningar som 60% -80%.

Vad är en kvadrat?

Square kallas den geometriska figuren. Form fyrkant - fyrsidig, som har lika sidor och vinklar. Närmare bestämt kallas quadrangle korrekt.

Torget har sina skyltar. De är:

• sidor av samma längd;
• lika vinklar mellan sig själva - raka (90 grader).

På grund av dessa egenskaper och funktioner i kvadrat cirkel kan skrivas, och beskriva det omkring honom. Den omskrivna cirkeln är tangent till alla sina hörn inskrivna - mitten av dess sidor. Deras fokus kommer att sammanfalla med mitten av torget och kommer att dela hans diagonalt på mitten. Den senare, i sin tur, är lika och dela hörnen av kvadraten i lika stora delar.

En diagonal delar torget i två likbenta trianglar, de två - till fyra.

Sålunda, om längden av sidorna av en kvadrat - t, längden av radien för den omskrivna cirkeln - R, och en inskriven - r, sedan

• en kvadratisk bas område eller fyrkantigt område (S) är lika med S = t ² = 2R ² = 4r ^2;

• en fyrkantig omkrets P bör beräknas enligt formeln P = 4t = 4√2R = 8r;

• längden av radien av den cirkel R = (√2 / 2) t;

• inskriven - r = t / 2.

En kvadratisk bas området är fortfarande möjligt att beräkna, att veta hans sida (a) eller längden av dess diagonal (c), sedan formeln visas respektive: S = a ² och S = 1 / 2c ^2.

Vad är torget, vi hittade. Låt oss ta en närmare titt på detaljerna, eftersom siffran torget är den symmetriska rektangel. Han har fem symmetriaxlar, med en (fjärde ordningens) passerar genom centrum och är vinkelrät mot planet för den kvadratiska, och fyra andra - tvåfaldiga symmetriaxel, två av dem är parallella med sidorna, och ytterligare två pass i diagonalen i kvadraten.

Metoder för att konstruera en kvadrat

Baserat på definitionen verkar det som om det finns inget enklare än att bygga en perfekt kvadrat. Detta är sant, men under förutsättning att du har alla mätverktyg. Och om något inte är tillgänglig?

Låt oss titta på de befintliga metoderna, vilket kommer att hjälpa oss att bygga denna siffra.

Mätning linjal och ställa torget - det är de viktigaste verktygen genom vilka kan du lättast bygga en kvadrat.

Först markera punkten, säger A, kommer vi att bygga vidare på det en kvadratisk bas.

Med användning av en linjal, bortsett från den till höger en sträcka lika med längden av sido, exempelvis 30 mm, och ange punkten B.

Nu, från de två punkter, med hjälp av gon perpendiklarna drar upp till 30 mm vardera. Vid ändarna av de vinkelräta linjerna inställda punkterna C och D, vilka är förbundna med varandra, med hjälp av en linjal - allt fyrkantig ABCD med sidan 30 mm redo!

Med hjälp av en linjal och gradskiva är också ganska lätt att konstruera en kvadrat. Starta, såsom i det föregående fallet i termer, exempelvis N, bortsett från dess horisontella intervall, till exempel 50 mm. Sätt punkt O.

Nu centrum av gradskivan ansluta med den punkt H, kryssrutan i vinkeln ⁰ 90, därigenom och en punkt H bygga vertikalt segment 50 mm vid sin ände med en punkt P. Vidare, i detta sätt att bygga det tredje segmentet från punkten O med en vinkel på 90 ⁰ av 50 mm, låta det slut punkten P. Anslut prickar R och R. du har aktiverat OGMF kvadrat med en sidolängd av 50 mm.

Det är möjligt att konstruera en kvadrat, med endast kompass och linjal. Om du har viktig storleken på torget och är känd för längden på sidan, kommer det att behöva mer och miniräknare.

Så satte den första punkten E - detta kommer att vara det i hörn av torget. Därefter väljer du den plats där den kommer att ligga mitt emot vertex F, det vill säga vänta diagonal HEDGEHOG din figur. Om du bygger en fyrkant i storlek, med längden på sidan, beräkna längden på diagonalen i formeln:

d = √2 * a, där a - sidans längd.

När du vet längden på diagonala längd hedgehog bygga detta värde. Från punkten E med en tjocklek i riktning mot punkten F rita en halvcirkel med radien hedgehog. Tvärtom, från punkten F - halvcirkel mot punkten E, samma radie. Genom skärningspunkten för dessa halvcirklar, med användning av en linjal, dra en länksegmentet. Hedgehog och GI skär i rät vinkel och diagonaler är framtiden för en kvadrat. Anslut prickar UOM, IL, ZHZ och WE med en linjal, får du en inskriven kvadrat EIZHZ.

Det är fortfarande möjligt att konstruera en kvadrat med en rad. Vad är en kvadrat? Detta plan parti avgränsas av korsande segment (linjer strålar). Därför kan vi konstruera en kvadrat på koordinaterna för dess hörn. Första dragningen axlarna. Sidan av torget kan ligga på dem, eller skärningspunkten mellan diagonalerna centrum sammanfaller med utgångspunkt - det beror på din önskan eller problemförhållanden. Kanske din figur kommer att avstånd från axeln på ett visst avstånd. I alla fall, den första märket av numeriska värden (slumpmässigt eller villkor), de två punkterna, då du kommer att vara kända sidlängd av en kvadrat. Nu kan vi beräkna koordinaterna för de två återstående hörn, komma ihåg att sidorna av kvadraten är lika med varandra och är parallella. Det sista steget - ansluta alla punkter i serie med varandra med en linjal.

Vilka är rutorna?

Square - en siffra tydligt definierade och strikt begränsat sina definitioner, så den typ av kvadraterna skiljer sig inte mångfald.

Torget euklidiska geometrin ses mer allmänt - en fyrsidig med lika långa sidor och hörn, men graden av vinklarna är inte specificerat. Detta betyder att vinklarna kan vara 120 grader ( "konvex" kvadrat), och, till exempel, 72 grader ( "konkav" fyrkantiga).

Om du frågar vad som är på torget i geometri eller vetenskap, kommer de att säga att - det är en fullständig eller planar graf (kolonnerna ₁ K till K _4). Och det är helt sant. Räkningen har hörn och kanter. När de kommer upp i ordnat par, bildar en graf. Antalet hörn - detta är ordningen av grafen, antalet kanter - dess storlek. Sålunda, den fyrkantiga - en plan kurva med fyra toppunkter och sex kanter eller K _4: 6.

sida av kvadraten

En av de viktigaste förutsättningarna för förekomsten av den fyrkantiga - närvaron av lika långa sidor - gör den sida är mycket viktigt för en mängd olika beräkningar. Men på samma gång erbjuder många sätt att den fyrkantiga sidans längd beräknades i närvaro av ett stort antal olika källdata.

Så, hur man hittar värdet av torget?

• Om du vet bara längden på diagonalen i kvadraten d, då kan du räkna ut riktningen på följande formel: a = d / √2.
• Diametern för den inskrivna cirkeln är den sida av en fyrkant och, därför, två gånger radien, är att: a = D = 2R.
• Radien av cirkeln kan också hjälpa räkna ut vad som är på sidan av torget. Vi kan hitta radien R en diameter D, som i sin tur är lika med diagonalen för en fyrkant d, och formeln för diagonalen i kvadraten genom vi vet: a = D / √2 = d / √2 = 2R / √2.
• Från lika det innebär att lära sidan av en kvadrat (a) är möjlig med hjälp av dess omkrets P och området S: a = √S = P / 4.
• Om vi vet längden på den linje som går från hörnet av torget och korsar mitten av dess angränsande sido C, usa också kunna ta reda på vad som är längden på sidan av torget: a = 2C / √5.

Det är hur många sätt det finns att se en så viktig parameter som längden på torget.

volym kvadrat

Frasen själv är absurt. Vad är en kvadrat? Detta är en plan figur med endast två parametrar - den längd och bredd. Och volymen? Detta är en kvantitativ karakterisering av upptas av föremålsutrymmet, det vill säga, den kan endast beräknas i volymkroppar.

Omger kroppen, vars alla ansikten är kvadrater - kuben. Trots den enorma och grundläggande skillnaden, studenter försöker ofta att beräkna volymen av en kvadrat. Om det är någon lyckas är Nobelpriset tillhandahålls.

Och för att ta reda på volymen av en kub V, är det tillräckligt att multiplicera alla tre av hans revben - a, b, c: V = a * b * c. Och eftersom de är genom definition lika, kan formeln se annorlunda: V = a ^3.

Värden delar och egenskaper

Torget, liksom varje polygon, det är den högsta - detta är den punkt där kors honom. Den övre delen av torget ligger på en cirkel som beskrivs runt den. Genom topp centrum av kvadraten i den diagonala sträcker sig, vilket också är bisektrisen och radien för den omskrivna cirkeln.

Eftersom den fyrkantiga - en plan figur, sedan skära och bygga en kvadratisk tvärsektion är inte möjlig. Men det kan vara resultatet av korsningen av många skrymmande kropp plan. Till exempel, en cylinder. Axialsektion av en cylinder - en rektangel eller kvadrat. Även kvadrat kan hända i skärningspunkten mellan planet av kroppen i valfri vinkel!

Men torget finns en annan inställning till tvärsnitt, men inte för vissa, men det gyllene snittet.

Vi vet alla att det gyllene snittet - ett förhållande där ett värde avser annan liksom deras summa till ett större värde. Sammanfattningsvis är denna procentsats som följer: referensvärdet (belopp) divideras med 62 och 38 procent.

Det gyllene snittet är mycket populär. Den används i design, arkitektur, ja överallt, även i ekonomin. Men det är inte bara den andel erhålls genom Pythagoras. Det finns till exempel även uttrycket "√2". På grundval av detta konstruktionen av de dynamiska rektanglar, som i sin tur är grundare format grupp A (A6, A5, A4, etc). Varför vi talar om dynamiska rektanglar? Eftersom deras konstruktion börjar med en kvadrat.

Ja, först måste du bygga en kvadrat. Hans sida kommer att vara lika med den mindre sidan av rektangeln i framtiden. Då måste du hålla diagonal av torget och använda kompassen, längden på diagonalen att skjuta en fortsättning av torget. Ur erhålls vid korsningen bygger en rektangel vars diagonal åter bygga och skjuta upp sin längd på förlängningssidan. Om du fortsätter att arbeta med detta system kommer att få mycket dynamiska rektanglar.

Förhållandet av långsida mot kort den första rektangeln är 0,7. Det är nästan 0,68 i det gyllene snittet.

Hörnen av kvadraten

Egentligen är det svårt något nytt att säga om vinklar. Samtliga egenskaper, de är också tecken på torget, har vi listat. Som för hörnen, fyra av dem (som i alla fyrhörning), varvid varje hörn av den fyrkantiga - en rak linje, det vill säga har en storlek av nittio grader. Definitionsmässigt finns det en rektangulär ruta. Om hörnen av större eller mindre - det är en annan siffra.

Diagonal av en kvadrat är uppdelad i hälften av sina hörn, det vill säga de är bisectors.

kvadratisk ekvation

Om så är nödvändigt för att beräkna värdet av olika magnituder i en kvadrat (fyrkantiga omkrets längder av sidorna eller diagonalerna) använder olika ekvationer, vilka är härledda från egenskaperna hos en kvadrat, och de grundläggande lagarna för geometri regler.

1. Ekvation kvadratisk yta

Från ekvationerna för att beräkna den fyrsidiga området, vi vet att det (området) är en produkt av längden och bredden. Och som kvadratsidan samma längd, det område det kommer att vara lika med längden av varje sida, byggd i andra graden

S = a ^2.

Med hjälp av Pythagoras sats, kan vi beräkna arean av en kvadrat veta längden på diagonalen.

S = d ^2/2.

2. Ekvationen för den fyrkantiga omkretsen

Omkretsen av fyrkant, samt alla fyrhörningar, lika med summan av längderna av dess sidor, och eftersom de är alla samma, kan man säga, att kvadraten på omkretsen är längden av delen, multiplicerad med fyra

P = a + a + a + a = 4a.

Återigen Pythagoras sats hjälper oss att hitta omkretsen genom diagonalen. Det är nödvändigt att värdera den diagonala längden multiplicerat med två rötter två

P = 2√2d

3. Ekvation diagonalen i kvadraten

Diagonalen i en kvadrat är lika med skär varandra i rät vinkel och uppdelas skärningspunkten för två.

Du hittar dem på grundval av ovanstående ekvationer av area och omkrets av en kvadrat

d = √2 * a, d = √2S, d = P / 2√2

Det finns sätt att ta reda på vad som är längden på diagonalen av en kvadrat. Radien av den cirkel inskriven i en kvadrat är lika med halv diagonalen, därav

d = √2D = 2√2R, där D - diameter, och R - radien av den inskrivna cirkeln.

Vetskap radien för den omskrivna cirkeln, beräkna diagonalt ännu enklare, eftersom det är diametern, dvs d = D = 2R.

Det är också möjligt att beräkna längden av diagonalen, känna till längden på linjen som kommer ut från hörnet till mitten av kvadraten C: d = √8 / 5 * C.

Men glöm inte att torget - en plan tomt, som avgränsas av fyra korsande linjer.

För linjer (och bildade former för att) det finns tillräckligt många ekvationer kräver inte någon ytterligare beskrivning, men linjen är oändlig. Ett begränsat polygoner linjer korsning. För dem är det möjligt att använda linjära ekvationer kombineras för att definiera de räta linjerna. Men det är nödvändigt att ange ytterligare parametrar, villkor.

För att bestämma polygoner är det nödvändigt att göra en sådan ekvation som skulle beskriva inte en linje utan en separat godtycklig intervall utan inblandning ytterligare villkor och beskrivningar.

_{[X / x i] * [} x ^ / x] * y i - detta är en speciell ekvation för polygoner.

Hakparenteserna i det pekar på ett undantagstillstånd är en bråkdel av antalet, det vill säga, vi måste lämna endast heltal. _yi - en funktion som är i intervallet av parametern x och x _^.

Med hjälp av denna ekvation kan vi härleda en ny ekvation för att beräkna längder och linje bestående av flera segment. Det är en grundläggande, universella för polygoner.

Kom ihåg att den fyrkantiga - det är en del av planet, så dess beskrivning av typen y = f (x) kan representeras, oftast endast som en flervärdig funktion, vilket i sin tur kan uttryckas i entydig om presentera dem parametriskt, är att beroende av den en parameter t:

x = f (t), y = f (t).

Så, om de används i samband universell ekvation och parametrisk representation, är det verkligen möjligt att härleda en ekvation för att uttrycka polygoner:

x = ((A2 + A3) * A5 + A4 * P) * cos (L)

y = ((A1 + A4) * A5 + A3 * P) * Sin (L),

var

A1 = [1 / [T / P]] * [T / P]; A2 = [2 / [T / P]] * [[T / P] / 2]; A3 = [3 / [T / P]] * [[T / P] / 3]; A4 = [4 / [T / P]] * [[T / P] / 4]; A5 = TP * [T / P],

där P - diagonal i rektangeln, L - lutningsvinkeln mot horisontalplanet, diagonal P, T - parameter som varierar i intervallet P till 5P.

Om L = 3,14 / 4, då ekvationen kommer att beskriva rutor av olika storlekar, beroende på storleken av den diagonala P.

Användningen av kvadratiska

I dagens värld av teknik gör att du kan fästa olika material kvadratisk form, eller närmare bestämt en kvadratiskt tvärsnitt.

Detta är till stor del positivt, billigare, mer hållbara och säkrare. Så nu gör fyrkantrör, pålar, tråd (ledningar), och även en kvadratisk tråd.

De viktigaste fördelarna är uppenbara, de kommer ut ur elementär geometri. Med samma mängd av den inskrivna cirkeln av en fyrkantig area som är mindre än det område i vilket den trädde följaktligen, genomströmning eller effektförbrukningen hos fyrkantröret av fyrkantiga trådar att vara högre än den hos de runda analoger.

Ofta förbrukningsvaror kvadrat mer estetiskt tilltalande och lätt att använda, installera, montera.

När man väljer dessa material är det viktigt att korrekt beräkna den kvadratiskt tvärsnitt till en tråd eller ett rör motstod den nödvändiga lasten. I varje fall, naturligtvis, kommer att behövas parametrar såsom strömstyrkan eller tryck, men utan grundläggande geometriska regler i kvadrat kan inte göra här. Även storleken på fyrkantsprofil är inte så mycket beräknas som valts av de givna parametrarna för tabellerna gäster för olika branscher.