Vad är aritmetik? Fundamentalsats aritmetik. binär aritmetisk

Vad är aritmetik? När mänskligheten började använda siffror och arbeta med dem? Var är dess rötter vardagliga begrepp som siffror, fraktioner, subtraktion, addition och multiplikation, har den personen gjort en del av hans liv och framtidsutsikter? Grekiska sinnen beundrade sådana vetenskaper som matematik, aritmetik och geometri, som en vacker symfoni av mänsklig logik.

Kanske matte är inte lika djup som de andra vetenskaper, men vad skulle hända med dem, folk glömmer de elementära multiplikationstabellen? Bekant för oss logiskt tänkande, med hjälp av siffror, bråk och andra verktyg för att ge människor en hård tid, och under en lång tid inte var tillgängliga för våra förfäder. I själva verket, innan utvecklingen av aritmetiska något område av mänsklig kunskap var inte riktigt vetenskapligt.

Aritmetik - Matematik är alfabetet

Aritmetik - läran om siffror, som varje individ börjar bekantskap med den fascinerande världen av matematik. För att citera M. V. Lomonosov, aritmetik - det är porten till lärande, öppnar vägen för oss att Miropoznanie. Men han har rätt, är kunskap om världen kan separeras från kunskap om bokstäver och siffror, matematik och tal? Kanske i gamla dagar, men inte i den moderna världen, där den snabba utvecklingen av vetenskap och teknik gör sina egna lagar.

Ordet "aritmetik" (GK. "Arifmos") av grekiskt ursprung, betyder "nummer". Man undersöker antalet och allt som kan förknippas med dem. Detta är en värld av siffror: olika operationer på tal, numeriska regler, de uppgifter som är förknippade med multiplikation, subtraktion, och så vidare ..

Det är allmänt accepterat att det inledande steget är det aritmetiska matematik och solid grund för de mer komplexa dess sektioner, såsom algebra, matematisk analys, högre matematik och t. D.

Det huvudsakliga syftet med aritmetisk

Grunden för aritmetiska - är ett heltal, egenskaper och lagar som anses högst aritmetiska eller talteori. I själva verket, hur rätt strategi tas med hänsyn till en så liten enhet, som ett naturligt tal beroende på styrkan av byggnaden - matematik.

Därför är den fråga som är aritmetiska svaret enkelt: det är vetenskapen om siffror. Ja, om de vanliga sju, nio, och allt detta mångskiftande samhälle. Och lika bra, och de mest mediokra verser kan inte skriva utan grundläggande alfabetet, utan aritmetiska inte kan lösas även grundläggande uppgifter. Det är därför alla vetenskaper har avancerade endast efter utvecklingen av aritmetik och matematik, som i första hand ett antal antaganden.

Aritmetik - science-spöke

Vad är aritmetisk - naturvetenskap eller en fantom? I själva verket, som de gamla grekiska filosoferna motiverat, inga siffror, inga siffror i verkligheten inte existerar. Det är bara en fantom, som skapas i den mänskliga tanken när du tittar på miljön och dess processer. I själva verket, vad är numret? Ingenstans runt vi inte ser något liknande som skulle kunna kallas antalet snarare antalet - det är ett sätt att utforska världen av det mänskliga sinnet. Kanske den här studien har vi inom sig? Filosofer argumentera om detta under många århundraden i rad, så att ge en uttömmande svar vi inte utföra. Hursomhelst kan det aritmetiska så stadigt ta sin position i den moderna världen ingen kan anses vara socialt anpassade utan kunskap om dess grundvalar.

Eftersom det fanns ett positivt heltal

Naturligtvis, det huvudsakliga syftet med vilken fungerar aritmetik, - naturligt tal, såsom 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... etc. Aritmetisk av naturliga tal är resultatet av bekostnad av vanliga föremål, såsom kor på en äng. Ändå definitionen av "en hel del" eller "lite" när något har upphört att hålla folk, och var tvungen att uppfinna mer sofistikerade räkningsteknik.

Men det verkliga genombrottet kom när det mänskliga sinnet har nått den punkt som kan vara en och samma antal "två" för att beteckna och 2 kg, och två tegel och 2 delar. Det faktum att det är nödvändigt att bortse från de former, egenskaper och betydelsen av föremål, då kan vi producera några åtgärder med dessa objekt i form av positiva heltal. Så föddes det aritmetiska av siffror, vilket ytterligare utvecklas och breddas ockuperar en position i samhället.

En sådan djupgående begreppet nummer, som noll och negativa tal, bråk, siffror hänvisar till siffrorna på annat sätt, har en rik och intressant historia av utveckling.

Aritmetiska och praktiska egyptierna

Två gamla mänskliga följeslagare i studien i världen och lösa vardagliga problem - det aritmetiska och geometri.

Man tror att historien om aritmetiska har sitt ursprung i den antika East: Indien, Egypten, Babylon och Kina. Så Rhind papyrus egyptiska ursprung (kallas så eftersom samma namn som hör till ägaren), som går tillbaka till XX-talet. BC, i tillägg till andra värdefulla data innefattar expansion av en fraktion av mängden fraktioner med olika nämnare och täljare lika med ett.

Till exempel: = 2/73 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Men vad är meningen med en sådan komplex sönderfall? Det faktum att den egyptiska tillvägagångssätt inte tolererar abstraherade tänka om siffror, tvärtom var beräkningarna görs endast för praktiska ändamål. Det vill säga, kommer egyptierna att delta i en sådan verksamhet som beräkningar enbart för att bygga graven, till exempel. Det var nödvändigt att beräkna längden på fin struktur, och det gjorde för en person att sitta papyrus. Som kan ses, var den egyptiska framsteg i beräkningarna kallas, snarare massiv, bygga, snarare än en kärlek till vetenskap.

Av denna anledning, beräkningar finns på papyri kan inte kallas reflektioner kring ämnet fraktioner. Troligtvis är det en praktisk beredning, vilket bidrog till att ytterligare lösa problem med fraktioner. De gamla egyptierna visste inte multiplikationstabellen, producerade en ganska lång beräkningar, utspridda i många deluppgifter. Kanske är detta en av dessa underaktiviteter. Det är lätt att lägga märke till att beräkningarna med dessa ämnen är mycket tidskrävande och inte särskilt lovande. Kanske av den anledningen vi inte ser ett stort bidrag till utvecklingen av forntida egyptiska matematik.

Antikens Grekland och filosofiska aritmetik

Många av kunskapen om gamla öst framgångsrikt behärskas av de gamla grekerna, som är kända för fans av abstrakt, abstrakt och filosofisk reflektion. Öva dem intresserade av inget mindre men de bästa teoretiker och tänkare är svåra att hitta. Det var bra för vetenskapen, eftersom matematik är inte möjligt att gå djupt, inte riva den med verkligheten. Naturligtvis är det möjligt att multiplicera 10 kor och 100 liter mjölk, men inte att kunna gå långt.

Greker tänka djupt lämnat ett betydande spår i historien, och deras verk har kommit till oss:

• Euklides och "Elements".
• Pythagoras.
• Arkimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Och, naturligtvis, visar alla filosofin av grekerna, och särskilt de som följer Pythagoras fall var så passionerade när det gäller siffror, som ansåg dem ett mysterium värld harmoni. Siffrorna har varit så studerat och undersökt, att en del av dem och deras par skrivs speciella egenskaper. Till exempel:

• Perfekt tal - de som är summan av alla dess divisorer utom själva numret (6 = 1 + 2 + 3).
• Vänliga antal - dessa siffror, av vilka en är summan av alla de divisorer i den andra och vice versa (Pythagoras vet endast ett sådant par: 220 och 284).

Grekerna, som trodde att vetenskapen ska bli älskad, inte att vara med henne för vinnings skull, har gjort stora framsteg, utforska, leka och lägga till nummer. Det bör noteras att inte alla sin forskning har använts i stor utsträckning, en del av dem var bara "för skönhet."

Östra tänkare medeltiden

Även i medeltiden aritmetiska man är skyldig sin utveckling till de östra samtida. Indianerna gav oss de siffror som vi aktivt använder en sådan sak som "noll", och positionsvariationen beräkningssystemet, den vanliga moderna uppfattningen. Från Al-gröt, som i den 15: e århundradet arbetade i Samarkand har vi ärvt decimaler, utan vilken det är svårt att föreställa sig modern aritmetik.

På många sätt, Europa bekant med resultaten i öst blev möjligt tack vare det arbete som den italienska vetenskapsmannen Leonardo Fibonacci, som skrev en bok "Liber Abaci", bekanta med orientaliska innovationer. Det har blivit en hörnsten i utvecklingen av algebra och aritmetik, forskning och vetenskaplig verksamhet i Europa.

ryska aritmetik

Slutligen aritmetik, har hittat sin plats och rotade i Europa, började spridas på rysk mark. Ryska först aritmetik publicerades år 1703 - det var en bok om aritmetik Leontiya Magnitskogo. Under lång tid var det enda handledning i matematik. Den innehåller de första ögonblicken av algebra och geometri. Siffrorna, som användes i exemplen på Rysslands första lärobok i aritmetik, arabiska. Även arabiska siffror har träffat förut, i gravyrer som går tillbaka till 17-talet.

Boken i sig är dekorerad med bilder av Archimedes och Pythagoras, och på första sidan - image aritmetik som kvinna. Hon sitter på tronen, under det står skrivet i det hebreiska ordet för Guds namn, och de steg som leder till altaret, inskriven med ordet "division", "öka", "tillägg", och så vidare. D. Man kan bara föreställa sig vilket värde förrådde sådana sanningar, som nu anses vardagsmat.

Läroboken 600 sidor beskriver som grund för liknande addition och multiplikation tabeller och applikationer för navigations vetenskaper.

Inte överraskande, har författaren valt bilden av grekiska tänkare för sin bok, eftersom han själv fängslades av skönheten i aritmetik, säger, "Arithmetic har chislitelnitsa det är skön, nezavistnoe ...". Detta sätt att räkna är välgrundad, eftersom det är dess utbredd kan anses vara i början av den snabba utvecklingen av vetenskapligt tänkande i Ryssland och allmänbildning.

oroliga primtal

Primtal - det är ett naturligt tal, som bara är två positiva delare: 1 och själv. Alla andra nummer, utom en kallas komposit. Exempel på primtal: 2, 3, 5, 7, 11 och alla andra som inte är andra än en delare och själva numret.

När det gäller nummer 1, är det på en premie - det råder enighet om att det bör övervägas varken enkelt eller förening. Enkel vid första anblicken, en enkel nummer döljer många olösta mysterier inom sig själva.

Euklides sats säger att ett oändligt antal primtal och Eratosthenes kom upp med en speciell aritmetik "såll", vilket eliminerar komplicerade siffror, vilket innebär att endast enkel.

Dess väsen är att betona återställa den första siffran, och i den efterföljande slående ut de som är multiplar av det. Vi upprepar denna procedur flera gånger - och få en tabell med primtal.

Fundamentalsats aritmetik

Bland de iakttagelser om primtal måste speciellt nämna grundläggande aritmetiska sats.

Grundläggande aritmetik teorem anges att varje heltal större än ett, eller en enkel eller det kan delas upp i en produkt av primtal upp till storleksordningen repetitionsfaktorer, det enda sättet.

Fundamentalsats aritmetik visade ganska besvärligt, och förstå det är inte som bara grunderna.

Vid första anblicken primtalen - elementära begrepp, men det är det inte. Fysik också en gång betraktades som elementär atom, tills hon hittade i en universum. Primes ägnat en vacker berättelse matematiker Don Zagier "De första femtio miljoner primtalen."

Från "tre äpplen" till deduktiva lagar

Som verkligen kan kallas en förstärkt grunden för all vetenskap - lagar aritmetik. Redan som barn hela aritmetiska ansikte, studera antalet ben och armar på dockor, antalet kuber, äpplen och så vidare. D. Vi studerar aritmetik, som sedan utvecklas till mer komplexa regler.

Hela vårt liv introducerar oss till räknesätten, som var för den vanliga människan den mest användbara av allt som vetenskapen ger. Studien av siffror - det är "Arithmetic-baby", som introducerar man till en värld av siffror som siffror i den tidiga barndomen.

Högre aritmetik - deduktiv vetenskap som studerar lagar aritmetik. De flesta av dem vet vi, men vi kanske inte känner till deras exakta ordalydelsen.

Lagen om addition och multiplikation

Två godtyckliga heltal a och b kan uttryckas som summan av a + b, vilket också är ett naturligt tal. När det dessutom följande lagar:

• Kommutativ, som säger att permutation av villkoren placerar belopp inte ändras, eller a + b = b + a.
• Associativ att nämnda summa beror inte på metoden för gruppering av termer i platser, eller a + (b + c) = (a + b) + c.

Räknesätten, såsom addition, - en av de grundläggande, men de används alla vetenskaper, för att inte tala om vardagen.

Helst två heltal a och b kan uttryckas i produkten eller en b * a * b, som också är ett naturligt tal. Att applicera produkten samma kommutativa och associativa lagar som tillsättandet av:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Det är intressant att det finns en lag, som kombinerar addition och multiplikation, även känd som en utdelning eller distributiva lagen:

a (b + c) = ab + ac

Denna lag lär oss att arbeta med konsoler, öppna dem, så kan vi redan arbetar med mer komplexa formler. Dessa är de lagar som kommer att leda oss genom den pittoreska men komplexa värld av algebra.

Lag aritmetisk ordning

om lagar mänsklig logik den använder varje dag, kontrollera sin klocka och räknar räkningarna. Och ändå, och det bör göras till ett visst språk.

Om vi har två positiva heltal a och b sedan följande alternativ:

• a är lika med b, eller a = b;
• en mindre än b, eller ett
• a är större än b, eller ett> b.

Av de tre alternativen kan bara vara en enda. Grundlagen, som reglerar förfarandet, sa: om a

Det finns också lagar som binder de åtgärder av tillsatsordningen och multiplikation: om a

Lagar aritmetiska lärt oss att arbeta med siffror, tecken och konsoler, svarvning allt i en harmonisk symfoni av siffror.

Positions- och nonpositional numreringssystem

Vi kan säga att siffrorna - det är det språk som matematik, från bekvämligheten av vilket beror på många saker. Det finns många system för beräkning, som i likhet med alfabet av olika språk skiljer sig åt.

Betrakta talsystemet från träffpunkten positioner på den kvantitativa värdet av siffran i detta läge. Till exempel, är romerska systemet nonpositional där varje tal kodas av en specifik uppsättning specialtecken: I / V / X / L / C / D / M. De är, respektive, siffrorna 1/5/10/50/100/500 / 1000. I detta system har siffran inte ändra sin kvantitativ bestämning, beroende på vid vilken position det ska: .. Den första, andra, etc. För att få de andra numren, är det nödvändigt att fastställa basen. Till exempel:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Mer bekant för oss talsystemet använder arabiska siffror är positions. I ett sådant system antalet urladdnings definierar antalet siffror, till exempel, tre-siffriga nummer: 333, 567, etc. Vikten av eventuellt av utlopps beror på en position på vilken figuren är den ena eller andra, t ex figur 8 i den andra positionen har ett värde av 80. Det är typiskt för decimalsystemet, det finns andra positionssystem, såsom binärt.

binär aritmetisk

Vi känner decimalsystemet, som består av en enda bit och multi-bitars tal. Siffran till vänster i siffriga numret är tio gånger större i betydelse för en till höger. Så brukade vi läsa två, 17, 467, och så vidare. D. Det är en annan logik och förhållningssätt avsnitt, som kallas "binär aritmetik." Detta är inte förvånande, eftersom binär aritmetik inte skapas för mänsklig logik, och för datorn. Om det aritmetiska av siffror härstammar från räkningen, vilket ytterligare abstraherade från ämnet egendom "naken" aritmetik, då detta inte kommer att fungera med datorn. För att kunna dela sina kunskaper med datorn, hade en man att uppfinna en beräkningsmodell.

Binär aritmetik arbetar med binära alfabetet, som endast består av 0 och 1. och användningen av detta alfabet kallas ett binärt system.

Till skillnad från binär aritmetik decimal att betydelsen av position till vänster är inte längre 10 och 2 gånger. Binära tal är av formen 111, 1001 och så vidare. D. Hur ska vi förstå dessa siffror? Därför anser vi antalet 1100

1. Den första siffran till vänster - en * 8 = 8, med tanke på att den fjärde siffran, vilket innebär att den måste multipliceras med 2, får vi 8 position.
2. Andra siffran 1 * 4 = 4 (position 4).
3. Den tredje siffran 0 * 2 = 0 (position 2).
4. Den fjärde siffran 0 * 1 = 0 (position 1).
5. Så vår nummer 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Det vill säga att övergången till en ny kategori till vänster om dess betydelse i det binära systemet multipliceras med två och decimal - till 10. Ett sådant system har en nackdel: det är för stora tillväxt bitar som krävs för att spela in tal. Exempel decimaltal dvochinyh vilket framgår av nedanstående tabell.

Decimaltal representeras i binär form nedan.

Det används också oktala och hexadecimala numreringssystem.

Denna mystiska aritmetik

Vad är aritmetik, "två plus två" eller outforskade mysterier siffror? Som ni kan se, aritmetik, kan, och det verkar vid första anblicken ett enkelt, men det är inte självklart vilseledande lätthet. Det är möjligt att studera barn, och tillsammans med moster Owl från den tecknade "aritmetik-baby", och du kan dyka i den djupa vetenskaplig forskning nästan filosofisk ordning. I historien har det gått från att räkna objekt att dyrka skönheten i siffror. En sak är säker: med fastställandet av de grundläggande postulat aritmetik, kan all vetenskap förlitar sig på sin starka axel.