Ekvationen för planet: hur man gör? Typer plana ekvation

Planet utrymme kan definieras på olika sätt (en punkt och vektor, vektorn och de två punkter, tre poäng, etc.). Det är med detta i åtanke, kan planet ekvationen har olika typer. Också under vissa förhållanden plan kan vara parallella, vinkelräta, varandra skärande, etc. På detta och kommer att tala i denna artikel. Vi kommer att lära sig att göra den allmänna ekvationen för planet och inte bara.

Den normala formen av ekvationen

Antar R är utrymmet _3, som har ett rektangulärt koordinatsystem XYZ. Vi definierar en vektor α, som kommer att släppas från startpunkten O. Genom slutet av vektor α rita plan P som är vinkelrät mot den.

Beteckna P vid en godtycklig punkt Q = (x, y, z). Radien vektor punkten Q tecknet bokstaven p. Längden på vektorn lika med α p = IαI och ʋ = (cosa, cos, cosγ).

Denna enhetsvektor, som är riktad i den riktning som vektor α. α, β och γ - är vinklar som bildas mellan vektorn och de positiva riktningarna ʋ rymdaxlarna x, y, z respektive. Projektionen av en punkt på vektorn QεP ʋ är en konstant som är lika med p (p, ʋ) = p (r≥0).

Ovanstående ekvation är meningsfull när p = 0. Den enda n plan i detta fall skulle korsa punkten O (α = 0), som är ursprunget, och enhetsvektorn ʋ, frigörs från punkten O blir vinkelrät mot P, även om dess riktning, vilket innebär att vektorn ʋ bestäms upp till skylten. Tidigare ekvationen är vår planet P, uttryckt i vektorform. Men med tanke på dess koordinater är:

P är större än eller lika med 0. Vi har funnit det plan ekvationen i normal form.

Den allmänna ekvationen

Om ekvationen i koordinaterna multiplicera med valfritt antal som inte är lika med noll, får vi ekvationen motsvarar detta som definierar mycket planet. Det kommer att ha följande form:

Här, A, B, C - är antalet samtidigt skiljer sig från noll. Denna ekvation kallas ekvationen för den allmänna formen av planet.

Ekvationerna för planen. special~~POS=TRUNC fall~~POS=HEADCOMP

Ekvationen kan generellt modifieras med ytterligare villkor. Överväga några av dem.

Antag att koefficienten A är 0. Detta indikerar att det plan parallellt med den förbestämda axeln Ox. I detta fall, i form av ekvationen ändrar: Wu + Cz + D = 0.

På liknande sätt kommer formen av ekvationen och variera med följande villkor:

• För det första, om B = 0, ekvationen ändras till Ax + Cz + D = 0, vilket skulle tyda på parallelliteten med axeln Oy.
• Det andra, om C = 0, är ekvationen omvandlas till Ax + By + D = 0, det vill säga om parallellt med den förbestämda axeln Oz.
• Tredje, om D = 0, kommer ekvationen visas som Ax + By + Cz = 0, vilket skulle innebära att planet skär O (origo).
• Fjärde, om A = B = 0, ekvationen ändras till Cz + D = 0, vilket kommer att visa sig Parallellitet Oxy.
• Femte, om B = C = 0, blir ekvationen Ax + D = 0, vilket betyder att planet är parallellt med OYZ.
• För det sjätte, om A = C = 0, har formen Wu + D = 0, ekvationen dvs kommer att rapportera till parallellism Oxz.

Form av ekvationen i segment

I det fall då talen A, B, C, D skild från noll, i form av ekvation (0) kan vara som följer:

x / a + b / y + z / c = 1,

vari a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Vi får till följd ekvation av planet i bitar. Det bör noteras att detta plan skär x-axeln i punkten med koordinaterna (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), och Oz - (0,0, s).

Ges ekvationen x / a + b / y + z / c = 1, är det inte svårt att visualisera placeringen plan relativt ett förutbestämt koordinatsystem.

Koordinaterna för den normala vektorn

Normalvektorn n för att planet P har koordinater som är koefficienterna med den allmänna ekvationen för planet, dvs n (A, B, C).

I syfte att bestämma koordinaterna för den normala n, är det tillräckligt att veta den allmänna ekvationen givna planet.

Vid användning av ekvationen i segment, som har formen x / a + b / y + z / c = 1, som kan skrivas koordinaterna för en normalvektor vid användning av allmänna ekvationen ett givet plan: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Det bör noteras att den normala vektorn att hjälpa till att lösa olika problem. De vanligaste problemen består i korrekturvinkelräta eller parallella plan, uppgiften att hitta vinklarna mellan planen eller vinklarna mellan planen och raka linjer.

Typ enligt planet ekvationen och koordinaterna för punkten normalvektor

En skild från noll vektor n, vinkelrätt mot ett givet plan, kallas normal (normal) till ett förutbestämt plan.

Antag att i koordinatutrymmet (ett rektangulärt koordinatsystem) Oxyz fastställd:

• Mₒ punkt med koordinaterna (hₒ, uₒ, zₒ);
• noll vektor n = A * i + B * j + C * k.

Du måste göra ekvationen för planet som passerar genom Mₒ punkt vinkelrätt mot den normala n.

I utrymmet väljer vi vilken som helst godtycklig punkt och betecknar M (x, y, z). Låta radien vektor för varje punkt M (x, y, z) kommer att vara r = x * i + y * j + z * k, och radien vektor för en punkt Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Punkten M kommer att tillhöra ett givet plan, om vektorn MₒM vara vinkelrätt mot vektorn n. Vi skriver skick ortogonalitet använda skalärprodukten:

[MₒM, n] = 0.

Sedan MₒM = r-rₒ kommer vektorn ekvationen för planet se ut så här:

[R - rₒ, n] = 0.

Denna ekvation kan också ha en annan form. För detta ändamål, egenskaperna hos den skalära produkten, och omvandlas den vänstra sidan av ekvationen. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Om [rₒ, n] betecknas som s, erhåller vi följande ekvation: [r, n] - a = 0 eller [R, N] = s, som uttrycker beständigheten utsprången på normalvektorn av de radie-vektorer för de givna punkterna som tillhör planet.

Nu kan du få koordinatregistreringsplanet vår vektor ekvation [r - rₒ, n] = 0. Eftersom r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, och n = A * i + B * j + C * k, har vi:

Det visar sig att vi har ekvationen bildas plan som går genom punkten vinkelrätt mot den normala n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Typ enligt planet ekvationen och koordinaterna för två punkter av vektorn planet collinear

Vi definierar två godtyckliga punkter M '(x', y 'z') och M "(x", y", z "), såväl som vektorn (a', a", a' '').

Nu kan vi skriva ekvation förutbestämt plan, som passerar genom den befintliga punkten M 'och M", och varje punkt med koordinaterna M (x, y, z) är parallella med en given vektor.

Sålunda M'M vektorer x = {x 'y-y'; zz '} och M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} bör vara i samma plan med vektorn a = (a', a "a' ''), vilket innebär att (M'M M" M, a) = 0.

Så vår ekvation ett plan i rymden kommer att se ut så här:

Typ av plan ekvation, passerar tre punkter

Låt oss säga att vi har tre punkter: (x 'y', Z '), (x', y 'z'), (x '' '' '' Ha, z '' '), som inte tillhör samma linje. Det är nödvändigt att skriva ekvationen för det plan som passerar genom de tre punkterna angivna. geometri teori hävdar att existerar denna typ av plan, det är bara en och endast. Eftersom detta plan skär punkten (x 'y', z '), dess ekvationsform skulle vara:

Här, A, B, och C är skilt från noll på samma gång. Också givet plan skär två fler poäng (x "y", z ") och (x '' ', y', z '' '). I detta sammanhang bör genomföras den här typen av villkor:

Nu kan vi skapa ett enhetligt system av ekvationer (linjära) med okända u, v, w:

I vårt fall x, y eller z står godtycklig punkt som uppfyller ekvation (1). Väger ekvation (1) och ett system av ekvationer (2) och (3) systemet av ekvationer som anges i figuren ovan, vektor uppfyller N (A, B, C), som är trivialt. Det beror på att faktorn för systemet är noll.

Ekvation (1) som vi har, är detta ekvationen för planet. 3 poäng hon verkligen går, och det är lätt att kontrollera. För att göra detta, vi expanderar determinanten av elementen i den första raden. Av de befintliga egenskaperna determinant följer att vår plan skär de tre ursprungligen förutbestämd punkt samtidigt (x 'y', z '), (x "y", z "), (x' '', y ', z' ''). Så vi bestämde att uppgiften framför oss.

V-formade vinkeln mellan planen

Tvåplansvinkel är en rumslig geometrisk form som bildas av två halvplan som utgår från en rak linje. Med andra ord, en del av det utrymme som är begränsad till de halvplan.

Antag att vi har två plan med följande ekvationer:

Vi vet att vektorn N = (A, B, C) och N ^ = (A ^, H ^, S¹) enligt förutbestämda plan är vinkelräta. I detta avseende, är vinkeln φ mellan vektorer N och N ^ lika vinkel (tvåplansvinkel), som är belägen mellan dessa plan. Skalärprodukten ges av:

NN¹ = | N || N ^ | cos φ,

just därför att

cos = NN¹ / | N || N ^ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A ^ + s ^ + V²)) * (√ (A ^) ² + (H ^) ² + (S¹) ²)).

Det räcker med att anse att 0≤φ≤π.

Faktiskt två plan som skär varandra, bildar två vinkel (tvåplansvinkel): cp ₁ och φ _2. Deras summa är lika med n (φ ₁ + φ ₂ = π). Som för deras cosinus, deras absolutvärden är lika, men de är olika tecken, det vill säga cos ₁ = -cos φ _2. Om i ekvationen (0) ersätts av A, B och C av -A, -B och -C respektive ekvationen, erhåller vi, kommer att avgöra samma plan, den enda vinkel φ i ekvations cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Det kommer att ersättas av π-φ.

Ekvationen för det vinkelräta planet

Kallas vinkelrätt plan, mellan vilka vinkeln är 90 grader. Med användning av material som presenteras ovan, kan vi hitta ekvationen för ett plan vinkelrätt till den andra. Antag vi har två plan: Ax + By + Cz + D = 0 och + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Vi kan säga att de är ortogonala om cos = 0. Detta innebär att NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Ekvationen för en parallellt plan

Det hänvisas till två parallella plan som innehåller inga poäng gemensamt.

Tillståndet av parallella plan (deras ekvationer är desamma som i det föregående stycket) är att vektorerna N och N ^, som är vinkelräta mot dem, kolinjär. Detta innebär att följande villkor är uppfyllda proportionalitet:

A / A ^ = B / C = H ^ / S¹.

Om de proportionella termer är expanderade - A / A ^ = B / C = H ^ / S¹ = DD¹,

detta tyder på att dataplanet av densamma. Detta innebär att ekvationen Ax + By + Cz + D = 0 och + A¹h V¹u S¹z + + D ^ = 0 beskriver ett plan.

Avståndet från punkt till planet

Antag att vi har ett plan P, som är given av (0). Det är nödvändigt att finna avståndet från punkten med koordinaterna (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Du måste ta ekvationen i planet II normalt utseende för att göra det:

(Ρ, v) = p (r≥0).

I detta fall, är ρ (x, y, z) radien vektorn enligt vår punkten Q, som ligger på n p - n är längden på det vinkelräta, som släpptes från nollpunkten, v - är enhetsvektom, som är anordnad i riktning a.

Skillnaden ρ-ρº radievektor av en punkt Q = (x, y, z), som tillhör n och radien vektorn från en given punkt Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) är en sådan vektor, det absoluta värdet av projektionen av vilka på v är lika med avståndet d, vilket är nödvändigt att hitta från Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) till P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, men

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Så visar det sig,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Nu är det klart att för att beräkna avståndet d från ₀ till Q-planet P, är det nödvändigt att använda normal vyplan ekvationen, förskjutning åt vänster av p, och den sista platsen av x, y, z substitut (hₒ, uₒ, zₒ).

Således finner vi det absoluta värdet för den resulterande uttryck som krävs d.

Genom att använda parametrarna för språk, får vi det uppenbara:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A ^ + V² + s ^).

Om den specificerade punkten Q ₀ är på den andra sidan av planet P som ursprung, sedan mellan vektorn ρ-ρ ⁰ och v är en trubbig vinkel, således:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

I det fall då punkten Q ₀ i samband med ursprung belägen på samma sida av U, är den spetsiga vinkeln som skapas, är att:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Resultatet är att i det förra fallet (ρ ^0, v)> p, i den andra (ρ ^0, v)

Och dess tangentplanet ekvationen

Om planet till ytan vid tangentpunkten Mº - ett plan som innehåller alla möjliga tangent till kurva dragen genom den punkt på ytan.

Med denna yta form av ekvationen F (x, y, z) = 0 i ekvationen av tangentplanet tangentpunkt Mº (hº, ܺ, zº) skulle vara:

_Fx (hº, ܺ, zº) (hº x) + F _x (hº, ܺ, zº) (ܺ y) + F _x (hº, ܺ, zº) (z-zº) = 0.

Om ytan är satt explicit z = f (x, y), då tangentplanet beskrivs av ekvationen:

z-zº = f (hº, ܺ) (hº x) + f (hº, ܺ) (y ܺ).

Skärningspunkten mellan två plan

I det tredimensionella rummet är ett koordinatsystem (rektangulär) Oxyz, givet två plan P 'och P' som överlappar varandra och inte sammanfaller. Eftersom varje plan, som är i ett rätvinkligt koordinatsystem som definieras av den allmänna ekvationen, antar vi att n 'och n "är definierade av ekvationerna A'x + V'u S'z + + D' = 0 och A" + B x '+ y med "z + D" = 0. I detta fall har vi normala n '(A', B 'C') av planet P 'och den normala n "(A", B "C") av planet P'. Som vår planet inte är parallella och inte sammanfaller, då dessa vektorer inte är collinear. Genom att använda språket i matematik, har vi detta tillstånd kan skrivas som: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * Och", λ * I "λ * C"), λεR. Låt den raka linjen som ligger i skärningspunkten P 'och P", kommer att betecknas med bokstaven a, i detta fall en = P' ∩ P".

och - en linje som består av ett flertal punkter (gemensamma) planen P 'och P". Detta innebär att koordinaterna för en punkt som tillhör linjen a, samtidigt måste uppfylla ekvationen A'x + V'u S'z + + D '= 0 och A "x + B' + C y" z + D "= 0. Detta innebär att koordinaterna för den punkt kommer att vara en särskild lösning av följande ekvationer:

Resultatet är att lösningen (totalt) av detta system av ekvationer kommer att bestämma koordinaterna för var och en av punkterna på den linje som kommer att fungera som skärningspunkten P 'och P", och bestämma en linje i ett koordinatsystem Oxyz (rektangulär) utrymme.