Sinus sats. lösning av trianglar

I studien av trianglar ofrivilligt det är en fråga om att beräkna förhållandet mellan deras sidor och vinklar. I geometri, satsen av cosinussvängningar och sinus ger den mest kompletta lösningen på problemet. Överflödet av olika matematiska uttryck och formler, lagar, satser och regler är sådana att olika extraordinära harmoni, koncis och lätt att mata en fånge i dem. Sinus teorem är ett utmärkt exempel på en sådan matematisk formulering. Om verbal tolkning och ändå finns det en viss hinder i förståelsen av matematiska regler, när man tittar på en matematisk formel på en gång det faller på plats.

Den första informationen om denna sats hittades i form av bevis för att det inom ramen för den matematiska arbete Nasir al-Din al-Tusi, med anor från trettonde århundradet.

Närmar närmare förhållandet mellan sidor och vinklar i en triangel, är det värt att notera att sinus teorem tillåter oss att lösa många matematiska problem, och geometrin av lagen finner tillämpning i en mängd olika praktiska mänsklig aktivitet.

Hon sinus teoremet anger att för varje triangel kännetecknas av proportionalitets sidor att motsatta hörn av sinus. Det finns också en andra del av denna sats, enligt vilka förhållandet mellan varje sida av triangeln motsatt den sinus för vinkeln är lika med diametern hos den cirkel som beskrivs omkring triangeln under övervägande.

I en formel detta uttryck ser ut

a / Sina = b / sinB = c / sinc = 2R

Det har bevis på sats av sinus, som på olika versioner av läroböcker finns i ett rikt utbud av versioner.

Till exempel anser en av de bevis som ger en förklaring av den första delen av satsen. För att göra detta, kommer vi att be att bevisa lojalitet till uttryck en sinc = c Sina.

I en godtycklig triangel ABC, konstruera höjden BH. I en utföringsform kommer konstruktionen H ligga på AC-segmentet, och den andra utanför den, beroende på storleken av vinklarna i hörnen av trianglarna. I det första fallet, kan höjden uttryckas genom de vinklar och sidor av triangeln som BH = en sinc och BH = c Sina, vilket är den erforderliga bevis.

När H-punkten ligger utanför segmentet AC, kan vi få följande lösningar:

BH = en sinc och Vl = c sin (180-A) = c Sina;

eller BH = a sin (180-C) = och sinc och Vl = c Sina.

Som ni kan se, oavsett designalternativ, kommer vi fram till det önskade resultatet.

Beviset för den andra delen av satsen kräver att vi beskriva en cirkel runt triangeln. Genom en av triangel höjder, exempelvis B, konstruera en cirkeldiameter. Den resulterande punkt på cirkeln D är ansluten till en av en höjd av triangeln, låt denna vara den punkt A i triangeln.

Om vi betraktar de erhållna trianglarna ABD och ABC, kan vi se lika vinklarna C och D (de är baserade på samma båge). Och med tanke på att vinkeln A är lika med nittio grader synd D = c / 2R, eller synd C = c / 2R, QED.

Sine teorem är utgångspunkten för en rad olika uppgifter. En speciell attraktion är dess praktiska tillämpning, som en naturlig följd av sats kan vi relatera värdet av de triangelsidorna, motstående vinklar och radien (diameter) hos en cirkel omskriven runt triangeln. Enkelheten och tillgängligheten av formel beskriver denna matematiska uttryck, får i stor utsträckning använda denna sats för att lösa problemen med hjälp av olika mekaniska anordningar uppräkneliga (räknestickor, tabeller och så vidare.), Men även ankomsten av serviceperson kraftfull datorenheter är inte sänkt betydelsen av denna sats.

Denna sats är inte bara en del av krävs naturligtvis av gymnasiet geometri, men senare används i vissa branscher praktiken.